Номер 3, страница 97 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 29. Свободные гармонические электромагнитные колебания. Глава 3. Электромагнетизм - номер 3, страница 97.

3. Найдите диапазон частот $v_1 - v_2$ колебаний в контуре с катушкой, индуктивность которой $L = 1 \text{ мГн}$, и конденсатором, ёмкость которого может изменяться в пределах от $C_1 = 40 \text{ пФ}$ до $C_2 = 90 \text{ пФ}$.

Дано:

Индуктивность катушки: $L = 1 \text{ мГн} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Минимальная ёмкость конденсатора: $C_1 = 40 \text{ пФ} = 40 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Максимальная ёмкость конденсатора: $C_2 = 90 \text{ пФ} = 90 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Найти:

Диапазон частот колебаний $ν_1 - ν_2$.

Решение:

Собственная частота колебаний в LC-контуре (колебательном контуре) определяется по формуле Томсона:$$ \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$где $\nu$ — частота в Герцах (Гц), $L$ — индуктивность в Генри (Гн), $C$ — ёмкость в Фарадах (Ф).

Из формулы видно, что частота колебаний $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из ёмкости $C$. Следовательно, минимальной ёмкости $C_1$ будет соответствовать максимальная частота колебаний $\nu_{max}$, а максимальной ёмкости $C_2$ — минимальная частота колебаний $\nu_{min}$.

Рассчитаем минимальную частоту колебаний $\nu_{min}$, которая соответствует максимальной ёмкости $C_2 = 9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$:$$ \nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{9 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}} $$$$ \nu_{min} = \frac{1}{2\pi \cdot 3 \cdot 10^{-7} \text{ с}} = \frac{10^7}{6\pi} \text{ Гц} $$Принимая $\pi \approx 3.14159$, получаем:$$ \nu_{min} \approx \frac{10000000}{6 \cdot 3.14159} \approx 530516 \text{ Гц} \approx 531 \text{ кГц} $$

Рассчитаем максимальную частоту колебаний $\nu_{max}$, которая соответствует минимальной ёмкости $C_1 = 4 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$:$$ \nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}} $$$$ \nu_{max} = \frac{1}{2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ с}} = \frac{10^7}{4\pi} \text{ Гц} $$Принимая $\pi \approx 3.14159$, получаем:$$ \nu_{max} \approx \frac{10000000}{4 \cdot 3.14159} \approx 795775 \text{ Гц} \approx 796 \text{ кГц} $$

Следовательно, диапазон частот колебаний в контуре составляет от 531 кГц до 796 кГц.

Ответ: диапазон частот составляет от $531 \text{ кГц}$ до $796 \text{ кГц}$.