Номер 5, страница 97 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 29. Свободные гармонические электромагнитные колебания. Глава 3. Электромагнетизм - номер 5, страница 97.

5. При каком условии колебания в контуре можно считать гармоническими?

Решение

Колебания в электрическом контуре можно считать гармоническими при выполнении условия, связанного с потерями энергии в этом контуре.

Гармонические колебания — это периодические изменения физической величины (в данном случае заряда, напряжения или силы тока), которые происходят по закону синуса или косинуса. Важнейшей характеристикой таких колебаний является постоянство их амплитуды. Для заряда $q$ на обкладках конденсатора это можно записать в виде уравнения:

$q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \phi)$

где $q_m$ — амплитуда заряда (постоянная величина), $\omega_0$ — собственная циклическая частота колебаний, $t$ — время, а $\phi$ — начальная фаза.

Такие незатухающие колебания с постоянной амплитудой возможны только в так называемом идеальном колебательном контуре. Главное условие, которому должен удовлетворять идеальный контур, — это полное отсутствие потерь энергии.

В любом реальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора $C$, всегда есть активное сопротивление $R$ (сопротивление провода катушки, соединительных проводов и т.д.). При протекании тока через это сопротивление часть электромагнитной энергии необратимо превращается во внутреннюю энергию (теплоту), что приводит к затуханию колебаний — их амплитуда со временем экспоненциально уменьшается.

Математически процесс в идеальном контуре (где $R=0$) описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

$L q'' + \frac{1}{C}q = 0$

Решением этого уравнения являются гармонические функции, описанные выше.

Для реального контура (где $R > 0$) уравнение принимает вид:

$L q'' + R q' + \frac{1}{C}q = 0$

Решением этого уравнения являются функции затухающих колебаний, которые не являются строго гармоническими, так как их амплитуда не постоянна.

Таким образом, для того чтобы колебания в контуре можно было считать гармоническими, необходимо, чтобы его активное сопротивление было равно нулю.

Ответ: Колебания в контуре можно считать гармоническими при условии, что его активное сопротивление равно нулю ($R=0$). На практике это означает, что сопротивление контура должно быть пренебрежимо малым, чтобы затухание колебаний было незначительным в течение рассматриваемого времени.