Номер 4, страница 52, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Сколько витков имеет рамка площадью $S = 500 \text{ см}^2$, если при вращении ее с частотой $V = 20 \text{ Гц}$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,1 \text{ Тл}$ индуцируется ЭДС, амплитуда которой равна $63 \text{ В}$?

Ответ: 100.

Дано:

Площадь рамки, $S = 500 \text{ см}^2$

Частота вращения, $\nu = 20 \text{ Гц}$

Индукция магнитного поля, $B = 0,1 \text{ Тл}$

Амплитуда ЭДС, $E_{max} = 63 \text{ В}$

$S = 500 \text{ см}^2 = 500 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 500 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,05 \text{ м}^2$

Найти:

Количество витков, $\text{N}$

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле в ней индуцируется ЭДС индукции. Магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется по гармоническому закону. Магнитный поток через рамку из $\text{N}$ витков в момент времени $\text{t}$ определяется формулой:

$\Phi(t) = N B S \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.

Поскольку рамка вращается с постоянной частотой $\nu$, угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha = \omega t$, где $\omega$ - угловая скорость.

Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Тогда выражение для магнитного потока принимает вид:

$\Phi(t) = N B S \cos(2\pi\nu t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $E(t)$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой с противоположным знаком:

$E(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt}(N B S \cos(2\pi\nu t))$

$E(t) = -N B S (-\sin(2\pi\nu t) \cdot 2\pi\nu) = N B S (2\pi\nu) \sin(2\pi\nu t)$

Это выражение описывает синусоидальное изменение ЭДС. Амплитуда ЭДС $E_{max}$ — это максимальное значение $E(t)$, которое достигается, когда множитель $\sin(2\pi\nu t)$ равен 1.

Следовательно, формула для амплитуды ЭДС:

$E_{max} = N B S \cdot 2\pi\nu$

Из этой формулы выразим искомое число витков $\text{N}$:

$N = \frac{E_{max}}{2\pi\nu B S}$

Подставим числовые значения, используя данные, переведенные в систему СИ:

$N = \frac{63}{2 \cdot \pi \cdot 20 \cdot 0,1 \cdot 0,05} = \frac{63}{40\pi \cdot 0,005} = \frac{63}{0,2\pi} = \frac{315}{\pi}$

Для вычисления численного значения используем приближение $\pi \approx 3,14159$:

$N \approx \frac{315}{3,14159} \approx 100,27$

Число витков в катушке может быть только целым числом. Полученный результат очень близок к 100. Расхождение, скорее всего, связано с тем, что в условии задачи дано округленное значение амплитуды ЭДС (63 В вместо более точного значения $100 \cdot 0,1 \cdot 0,05 \cdot 2\pi \cdot 20 = 20\pi \approx 62,83$ В). Таким образом, принимаем, что количество витков равно 100.

Ответ: 100