Номер 6, страница 52, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*6. Проволочный виток радиусом $r = 4 \text{ см}$ равномерно вращается с частотой $V = 50 \text{ Гц}$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,04 \text{ Тл}$. Ось вращения, проходящая через центр витка, лежит в плоскости витка и образует угол $\alpha = 60^\circ$ с линиями индукции магнитного поля. Определите амплитуду ЭДС, которая индуцируется в витке.

Ответ: $63,1 \text{ мВ}$.

Дано:

Радиус витка $r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Частота вращения $\nu = 50 \text{ Гц}$

Индукция магнитного поля $B = 0.04 \text{ Тл}$

Угол между осью вращения и линиями индукции $\alpha = 60^\circ$

Найти:

Амплитуду ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея:

$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt}$

где $\Phi$ – магнитный поток, пронизывающий контур. Магнитный поток определяется как скалярное произведение вектора магнитной индукции $\vec{B}$ и вектора площади $\vec{S}$:

$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B S \cos\theta$

Здесь $\text{S}$ – это площадь витка, а $\theta$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости витка.

Площадь кругового витка равна $S = \pi r^2$.

Виток вращается с постоянной частотой $\nu$, следовательно, его угловая скорость $\omega = 2\pi\nu$.

Согласно условию задачи, ось вращения лежит в плоскости витка. Это означает, что нормаль к плоскости витка $\vec{n}$ всегда перпендикулярна оси вращения. Ось вращения, в свою очередь, образует угол $\alpha$ с вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Для нахождения потока удобно разложить вектор $\vec{B}$ на две составляющие: $B_\parallel = B \cos\alpha$, параллельную оси вращения, и $B_\perp = B \sin\alpha$, перпендикулярную оси вращения. Составляющая $B_\parallel$ не вносит вклада в изменение магнитного потока, так как угол между ней и нормалью $\vec{n}$ всегда равен $90^\circ$.

Изменение магнитного потока создается только перпендикулярной составляющей поля $B_\perp$. В системе, связанной с вращающимся витком, эта составляющая поля вращается с угловой скоростью $\omega$ в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Угол между $B_\perp$ и нормалью $\vec{n}$ изменяется по закону $\omega t$. Таким образом, магнитный поток через виток изменяется со временем по закону:

$\Phi(t) = B_\perp S \cos(\omega t) = (B \sin\alpha) S \cos(\omega t)$

Теперь найдем ЭДС, взяв производную от потока по времени:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (B S \sin\alpha \cos(\omega t))$

$\mathcal{E}(t) = - B S \sin\alpha \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = B S \omega \sin\alpha \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$, – это максимальное значение $\mathcal{E}(t)$, которое достигается, когда $\sin(\omega t) = 1$.

$\mathcal{E}_{max} = B S \omega \sin\alpha$

Подставим в эту формулу выражения для площади $S = \pi r^2$ и угловой скорости $\omega = 2\pi\nu$:

$\mathcal{E}_{max} = B (\pi r^2) (2\pi\nu) \sin\alpha = 2\pi^2 B \nu r^2 \sin\alpha$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$\mathcal{E}_{max} = 2\pi^2 \cdot 0.04 \text{ Тл} \cdot 50 \text{ Гц} \cdot (0.04 \text{ м})^2 \cdot \sin(60^\circ)$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathcal{E}_{max} = 2\pi^2 \cdot 0.04 \cdot 50 \cdot 0.0016 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathcal{E}_{max} = \pi^2 \cdot (2 \cdot 0.04 \cdot 50 \cdot 0.0016 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi^2 \cdot 0.0064 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.0032 \cdot \sqrt{3} \cdot \pi^2 \text{ В}$

$\mathcal{E}_{max} \approx 0.0032 \cdot 1.732 \cdot (3.1416)^2 \approx 0.00554 \cdot 9.8696 \approx 0.0547 \text{ В}$

Переведем результат в милливольты:

$0.0547 \text{ В} = 54.7 \text{ мВ}$

Ответ: амплитуда ЭДС, индуцируемая в витке, составляет примерно $54.7 \text{ мВ}$.