Номер 7, страница 52, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*7. Проволочное кольцо радиусом $r = 10 \text{ см}$ находится в магнитном поле, индукция которого со временем изменяется по закону $B = 0,04 \cos 5\Pi t$. Плоскость кольца образует с линиями индукции магнитного поля угол $\alpha = 45^\circ$. Напишите закон изменения ЭДС, индуцируемой в кольце, и определите ее максимальное значение.

Ответ: $\mathcal{E} = 0,014 \sin 5\Pi t \text{ (В)}; \mathcal{E}_m = 14 \text{ мВ}$.

Дано:

Радиус кольца, $r = 10$ см

Закон изменения магнитной индукции, $B(t) = 0,04 \cos(5πt)$ Т

Угол между плоскостью кольца и линиями индукции, $α = 45°$

$r = 0,1$ м

Найти:

Закон изменения ЭДС, $ℰ(t) - ?$

Максимальное значение ЭДС, $ℰ_m - ?$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, определяется законом Фарадея: $ℰ = - \frac{dΦ}{dt}$, где $Φ$ — магнитный поток, пронизывающий контур.

Магнитный поток $Φ$ через плоскую поверхность площадью $\text{S}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$ равен: $Φ = B S \cosβ$, где $β$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости контура.

По условию задачи, угол $α$ дан между плоскостью кольца и линиями индукции. Связь между углами $α$ и $β$ следующая: $β = 90°- α$. $β = 90°- 45°= 45°$.

Площадь кольца $\text{S}$ вычисляется по формуле площади круга: $S = πr^2 = π \cdot (0,1 \text{ м})^2 = 0,01π \text{ м}^2$.

Теперь запишем выражение для магнитного потока как функцию времени: $Φ(t) = B(t) S \cosβ = (0,04 \cos(5πt)) \cdot (0,01π) \cdot \cos(45°)$.

Для нахождения ЭДС индукции, возьмем производную от магнитного потока по времени со знаком минус: $ℰ(t) = - \frac{dΦ}{dt} = - \frac{d}{dt} [0,04 \cdot 0,01π \cdot \cos(45°) \cdot \cos(5πt)]$.

Вынесем постоянные множители за знак производной: $ℰ(t) = - (0,04 \cdot 0,01π \cdot \cos(45°)) \cdot \frac{d}{dt}(\cos(5πt))$.

Производная от косинуса: $(\cos(ωt))' = -ω\sin(ωt)$. В нашем случае $ω = 5π$. $\frac{d}{dt}(\cos(5πt)) = -5π \sin(5πt)$.

Подставим производную в выражение для ЭДС: $ℰ(t) = - (0,04 \cdot 0,01π \cdot \cos(45°)) \cdot (-5π \sin(5πt))$. $ℰ(t) = (0,04 \cdot 0,01π \cdot 5π \cdot \cos(45°)) \cdot \sin(5πt)$.

Это и есть закон изменения ЭДС. Амплитудное (максимальное) значение $ℰ_m$ — это коэффициент перед синусом: $ℰ_m = 0,04 \cdot 0,01π \cdot 5π \cdot \cos(45°)$.

Подставим числовые значения $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $π$: $ℰ_m = 0,04 \cdot 0,01 \cdot 5 \cdot π^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,002 \cdot π^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,001 \cdot π^2 \cdot \sqrt{2}$.

Вычислим значение: $ℰ_m ≈ 0,001 \cdot (3,14159)^2 \cdot 1,4142 ≈ 0,001 \cdot 9,8696 \cdot 1,4142 ≈ 0,01396$ В.

Округлим результат до тысячных: $ℰ_m ≈ 0,014$ В. Переведем в милливольты: $0,014 \text{ В} = 14 \text{ мВ}$.

Таким образом, закон изменения ЭДС имеет вид: $ℰ(t) = 0,014 \sin(5πt)$ В.

Ответ: закон изменения ЭДС $ℰ(t) = 0,014 \sin(5πt)$ В; максимальное значение ЭДС $ℰ_m = 14$ мВ.