Номер 1, страница 108, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Какая волна называется стоячей волной? Объясните процесс формирования стоячей волны.

1. Стоячая волна — это колебательный процесс, возникающий в результате интерференции (наложения) двух бегущих волн, которые распространяются навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. В отличие от бегущей волны, стоячая волна не переносит энергию в пространстве, а её энергия локализована в определённых участках.

Процесс формирования стоячей волны можно объяснить следующим образом.

Рассмотрим среду, в которой может распространяться волна, например, натянутую струну. Пусть по этой струне в положительном направлении оси $Ox$ бежит гармоническая волна (назовем ее падающей), описываемая уравнением:

$y_1(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — круговая частота, $\text{k}$ — волновое число ($k = 2\pi/\lambda$), $\text{t}$ — время, $\text{x}$ — координата.

Когда эта волна достигает препятствия (например, закрепленного конца струны), она отражается и начинает распространяться в обратном направлении. Отраженная волна будет иметь ту же амплитуду и частоту. Ее уравнение (при отражении от плотной среды, когда фаза меняется на $\pi$) можно записать как:

$y_2(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \pi) = -A \sin(\omega t + kx)$

В результате в каждой точке струны будут существовать колебания, являющиеся суммой колебаний от падающей и отраженной волн. Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение $y(x, t)$ будет равно:

$y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) = A \sin(\omega t - kx) - A \sin(\omega t + kx)$

Используя тригонометрическую формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$, получим:

$y(x, t) = 2A \sin\frac{(\omega t - kx) - (\omega t + kx)}{2} \cos\frac{(\omega t - kx) + (\omega t + kx)}{2}$

$y(x, t) = 2A \sin(-kx) \cos(\omega t) = -2A \sin(kx) \cos(\omega t)$

Итоговое уравнение стоячей волны имеет вид:

$y(x, t) = (2A \sin(kx)) \cos(\omega t)$ (знак минус можно убрать, так как он влияет лишь на начальную фазу колебаний)

В этом уравнении множитель $(2A \sin(kx))$ представляет собой амплитуду колебаний, которая зависит от координаты $\text{x}$, но не от времени. Это и есть ключевая особенность стоячей волны.

В стоячей волне есть характерные точки:

• Узлы — точки, в которых амплитуда колебаний всегда равна нулю. Они остаются неподвижными. Это происходит при условии $\sin(kx) = 0$, то есть $kx = n\pi$, где $n = 0, 1, 2, \dots$. Координаты узлов: $x = n \frac{\lambda}{2}$. Расстояние между соседними узлами равно половине длины волны $\lambda/2$.
• Пучности — точки, в которых амплитуда колебаний максимальна и равна $2A$. Это происходит при условии $|\sin(kx)| = 1$, то есть $kx = (n + 1/2)\pi$. Координаты пучностей: $x = (n + 1/2) \frac{\lambda}{2}$. Расстояние между соседними пучностями также равно $\lambda/2$.

Таким образом, стоячая волна представляет собой картину, где одни участки среды (пучности) колеблются с максимальной амплитудой, а другие (узлы) остаются в покое. Все точки между двумя соседними узлами колеблются в одной фазе, а при переходе через узел фаза колебаний меняется на противоположную.

Ответ: Стоячая волна — это результат интерференции двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющихся навстречу друг другу. Она формируется при наложении падающей волны и волны, отраженной от препятствия. В отличие от бегущей волны, стоячая волна не переносит энергию и имеет неподвижные точки с нулевой амплитудой (узлы) и точки с максимальной амплитудой (пучности).