Номер 3, страница 108, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Почему длина и частота стоячей волны равны?

3. Почему длина и частота стоячей волны равны?

Вопрос, по-видимому, сформулирован не совсем корректно, так как длина волны (измеряется в метрах) и частота (измеряется в герцах) — это разные физические величины и не могут быть равны между собой. Вероятно, имеется в виду, почему длина и частота стоячей волны равны соответствующим параметрам тех бегущих волн, при наложении которых она образуется.

Решение:

Стоячая волна является результатом интерференции (суперпозиции) двух бегущих волн с одинаковыми амплитудами $\text{A}$, частотами $\nu$ и длинами волн $\lambda$, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть уравнения этих волн имеют вид: $y_1 = A \sin(kx - \omega t)$ $y_2 = A \sin(kx + \omega t)$ где $\omega = 2\pi\nu$ — круговая частота, а $k = 2\pi/\lambda$ — волновое число.

Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение $\text{y}$ в среде равно сумме смещений от каждой волны: $y = y_1 + y_2$. Используя тригонометрическую формулу суммы синусов, получаем уравнение стоячей волны: $y = y_1 + y_2 = A (\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)) = (2A \sin(kx)) \cos(\omega t)$

Из этого уравнения видно:

1. Частота: Множитель $\cos(\omega t)$ описывает колебания точек среды во времени. Он показывает, что все точки среды (кроме узлов, где амплитуда равна нулю) колеблются с той же самой круговой частотой $\omega$ (и, соответственно, с той же частотой $\nu = \omega / 2\pi$), что и исходные бегущие волны. Таким образом, частота стоячей волны совпадает с частотой породивших ее волн.

2. Длина волны: Множитель $(2A \sin(kx))$ представляет собой амплитуду колебаний в точке с координатой $\text{x}$. Эта амплитуда зависит от положения точки. Узлы соответствуют точкам, где $\sin(kx) = 0$, а пучности — где $|\sin(kx)| = 1$. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) равно $\lambda/2$. По определению, длиной стоячей волны ($\lambda_{ст}$) называют величину, равную удвоенному расстоянию между соседними узлами. Таким образом, $\lambda_{ст} = 2 \cdot (\lambda/2) = \lambda$. То есть пространственный период стоячей волны (длина волны) совпадает с длиной волны исходных бегущих волн.

Ответ: Стоячая волна является результатом интерференции двух одинаковых встречных волн. Вследствие принципа суперпозиции, результирующее колебание в каждой точке происходит с той же частотой, что и у исходных волн, а пространственная картина узлов и пучностей повторяется с периодом, равным длине исходных волн. Таким образом, стоячая волна "наследует" частоту и длину волны от создавших её бегущих волн.