Номер 4, страница 13, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Докажите, что преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при$ \frac{v_0}{c} \approx 0 $.

4. Дано:

Условие: скорость относительного движения инерциальных систем отсчета $v_0$ много меньше скорости света $\text{c}$, то есть $\frac{v_0}{c} \approx 0$.

Найти:

Доказать, что при данном условии преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Решение:

Преобразования Лоренца для координат $(x', y', z')$ и времени $t'$ события в системе отсчета K', которая движется со скоростью $v_0$ вдоль оси X относительно системы отсчета K (с координатами $(x, y, z)$ и временем $\text{t}$), имеют вид: $x' = \frac{x - v_0 t}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}}$ $y' = y$ $z' = z$ $t' = \frac{t - \frac{v_0 x}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}}$

Рассмотрим, как изменятся эти формулы при условии малости скорости $v_0$ по сравнению со скоростью света $\text{c}$, то есть при $\frac{v_0}{c} \to 0$.

1. Знаменатель в формулах для $x'$ и $t'$: если $\frac{v_0}{c} \approx 0$, то и величина $\frac{v_0^2}{c^2} \approx 0$. Тогда корень в знаменателе $\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}} \approx \sqrt{1 - 0} = 1$.

2. Слагаемое $\frac{v_0 x}{c^2}$ в числителе для $t'$: так как $\frac{v_0}{c} \approx 0$, то и все выражение $\frac{v_0 x}{c^2}$ можно считать пренебрежимо малым, то есть $\frac{v_0 x}{c^2} \approx 0$.

Подставим эти приближенные значения в исходные преобразования Лоренца: $x' \approx \frac{x - v_0 t}{1} = x - v_0 t$ $y' = y$ $z' = z$ $t' \approx \frac{t - 0}{1} = t$

Полученный набор формул: $x' = x - v_0 t$ $y' = y$ $z' = z$ $t' = t$ полностью совпадает с преобразованиями Галилея. Таким образом, преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для нерелятивистских скоростей.

Ответ: При условии, что скорость относительного движения систем отсчета много меньше скорости света $(\frac{v_0}{c} \approx 0)$, лоренц-фактор $\frac{1}{\sqrt{1 - v_0^2/c^2}} \approx 1$ и релятивистский член $\frac{v_0 x}{c^2} \approx 0$. Вследствие этого преобразования Лоренца для координат и времени упрощаются и принимают вид преобразований Галилея: $x' = x - v_0 t$, $y' = y$, $z' = z$, $t' = t$.