Номер 1, страница 31 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Изменению какой величины в колебательном контуре соответствует увеличение коэффициента жесткости пружинного маятника?

1. Решение:

Для ответа на этот вопрос необходимо провести аналогию между механическими колебаниями пружинного маятника и электромагнитными колебаниями в LC-контуре (колебательном контуре).

Уравнение движения пружинного маятника, описывающее свободные гармонические колебания, имеет вид:

$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$

где $\text{m}$ — масса груза, $\text{k}$ — коэффициент жесткости пружины, а $\text{x}$ — смещение груза от положения равновесия.

Уравнение, описывающее свободные электромагнитные колебания в идеальном LC-контуре, имеет аналогичную форму:

$L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, $\text{C}$ — емкость конденсатора, а $\text{q}$ — заряд на обкладках конденсатора.

Сравнивая эти два дифференциальных уравнения, можно установить прямые аналогии между физическими величинами, описывающими обе системы. Масса $\text{m}$, являющаяся мерой инертности в механической системе, соответствует индуктивности $\text{L}$, которая характеризует электромагнитную инертность. Коэффициент жесткости пружины $\text{k}$ соответствует величине, обратной емкости, $1/C$. Смещение $\text{x}$ аналогично заряду $\text{q}$, а скорость $v=dx/dt$ — силе тока $I=dq/dt$.

В вопросе говорится об увеличении коэффициента жесткости $\text{k}$. Согласно установленной аналогии ($k \leftrightarrow 1/C$), это соответствует увеличению величины $1/C$.

Если величина $1/C$ увеличивается, это математически означает, что сама емкость $\text{C}$ должна уменьшаться.

Следовательно, увеличение коэффициента жесткости пружинного маятника соответствует уменьшению электроемкости конденсатора в колебательном контуре.

Эту аналогию можно подтвердить, рассмотрев формулы для периодов колебаний. Период пружинного маятника $T_m = 2\pi\sqrt{m/k}$, а период колебательного контура $T_{LC} = 2\pi\sqrt{LC}$. Увеличение жесткости $\text{k}$ приводит к уменьшению периода $T_m$. В LC-контуре уменьшение периода $T_{LC}$ может быть вызвано уменьшением $\text{L}$ или $\text{C}$. Поскольку аналогом $\text{k}$ не является $\text{L}$ (аналогом $\text{L}$ является масса $\text{m}$), то из сопоставления уравнений следует, что аналогия существует между $\text{k}$ и величиной, обратной $\text{C}$. Таким образом, увеличение $\text{k}$ (уменьшающее период) соответствует уменьшению $\text{C}$ (которое также уменьшает период).

Ответ: Увеличению коэффициента жесткости пружинного маятника соответствует уменьшение электроемкости конденсатора в колебательном контуре.