Номер 2, страница 37 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Выведите закон изменения ЭДС, индуцируемой во вращающейся в магнитном поле рамке.

2. Дано:

Рамка с числом витков $\text{N}$
Площадь рамки $\text{S}$
Индукция однородного магнитного поля $\text{B}$
Угловая скорость вращения рамки $\omega$

Найти:

Закон изменения ЭДС индукции $\mathcal{E}(t)$

Решение:

При вращении рамки в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий ее. Магнитный поток $\Phi$ через рамку, состоящую из $\text{N}$ витков, определяется формулой:

$\Phi = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости рамки.

Поскольку рамка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha = \omega t$. За начальный момент времени ($t=0$) примем положение, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции, а нормаль к рамке совпадает с направлением вектора $\vec{B}$ (то есть $\alpha = 0$).

Тогда зависимость магнитного потока от времени будет выглядеть так:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в контуре, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi(t)}{dt}$

Чтобы найти закон изменения ЭДС, необходимо взять производную по времени от выражения для магнитного потока:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt} (N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Величины $\text{N}$, $\text{B}$, $\text{S}$ являются постоянными, поэтому их можно вынести за знак производной:

$\mathcal{E}(t) = - N \cdot B \cdot S \cdot \frac{d}{dt}(\cos(\omega t))$

Производная косинуса по времени равна:<

$\frac{d}{dt}(\cos(\omega t)) = -\sin(\omega t) \cdot (\omega t)' = -\omega \sin(\omega t)$

Подставим это выражение в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E}(t) = - N \cdot B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t))$

Окончательно получаем закон изменения ЭДС:

$\mathcal{E}(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Это уравнение показывает, что индуцированная ЭДС изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону. Амплитудное (максимальное) значение ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t) = \pm 1$, и равно:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Следовательно, закон изменения ЭДС можно также записать в виде:

$\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$

Ответ: Закон изменения ЭДС, индуцируемой во вращающейся в магнитном поле рамке, описывается уравнением $\mathcal{E}(t) = N B S \omega \sin(\omega t)$, где $\text{N}$ — число витков, $\text{B}$ — индукция магнитного поля, $\text{S}$ — площадь рамки, $\omega$ — угловая скорость вращения, $\text{t}$ — время.