Номер 3, страница 31 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Напишите уравнение механических колебаний пружинного маятника аналогично уравнению электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

3. Решение

Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре (состоящем из катушки индуктивности $\text{L}$ и конденсатора емкостью $\text{C}$) описываются дифференциальным уравнением, которое следует из второго закона Кирхгофа для замкнутой цепи: $U_L + U_C = 0$. Напряжение на катушке (ЭДС самоиндукции) равно $U_L = -L\frac{dI}{dt}$, а напряжение на конденсаторе $U_C = \frac{q}{C}$. Так как сила тока $\text{I}$ является производной от заряда $\text{q}$ по времени ($I = q'$), то $\frac{dI}{dt} = q''$. Подставляя все в закон Кирхгофа, получаем:

$Lq'' + \frac{1}{C}q = 0$

Это уравнение гармонических колебаний для заряда $\text{q}$.

Рассмотрим механические колебания пружинного маятника, состоящего из груза массой $\text{m}$ на пружине жесткостью $\text{k}$. Согласно второму закону Ньютона, $ma = F_{упр}$. Возвращающая сила упругости по закону Гука равна $F_{упр} = -kx$, где $\text{x}$ — смещение от положения равновесия. Ускорение $\text{a}$ является второй производной от смещения $\text{x}$ по времени ($a=x''$). Подставляя все в закон Ньютона, получаем:

$mx'' = -kx$, или $mx'' + kx = 0$

Это уравнение по своей структуре полностью аналогично уравнению для колебательного контура. Мы можем сопоставить физические величины:

• Индуктивность $\text{L}$ (мера инертности тока) аналогична массе $\text{m}$ (мера инертности тела).
• Величина, обратная емкости, $1/C$ (характеризует "электрическую жесткость" конденсатора) аналогична жесткости пружины $\text{k}$.
• Заряд $\text{q}$ (электрическое смещение) аналогичен координате $\text{x}$ (механическое смещение).
• Сила тока $I = q'$ аналогична скорости $v = x'$.

Решением дифференциального уравнения $mx'' + kx = 0$ является функция, описывающая гармонические колебания:

$x(t) = x_{max} \cos(\omega_0 t + \phi_0)$, где $x_{max}$ — амплитуда колебаний, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — собственная циклическая частота колебаний, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Ответ: Уравнение механических колебаний пружинного маятника, аналогичное уравнению электромагнитных колебаний, имеет вид $x(t) = x_{max} \cos(\omega_0 t + \phi_0)$, где $\text{x}$ — смещение от положения равновесия, $x_{max}$ — амплитуда, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — циклическая частота.