Номер 3, страница 47 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Резонанс в колебательном контуре, содержащем конденсатор емкостью $C_1 = 1$ мкФ, наступает при частоте $V_1 = 400$ Гц. Если параллельно этому конденсатору подключить другой конденсатор, резонанс наступит при частоте $V_2 = 100$ Гц. Определите емкость второго конденсатора.

Ответ: $\text{15}$ мкФ.

Дано:

Емкость первого конденсатора, $C_1 = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Резонансная частота в первом случае, $\nu_1 = 400 \text{ Гц}$

Резонансная частота во втором случае, $\nu_2 = 100 \text{ Гц}$

Найти:

Емкость второго конденсатора, $C_2$.

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — емкость конденсатора.

В первом случае, когда в контуре находится только конденсатор с емкостью $C_1$, формула имеет вид:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$ (1)

Во втором случае к первому конденсатору параллельно подключают второй с емкостью $C_2$. При параллельном соединении общая емкость $C_{общ}$ равна сумме емкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2$

Тогда новая резонансная частота $\nu_2$ будет равна:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{общ}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1+C_2)}}$ (2)

Чтобы исключить неизвестную индуктивность $\text{L}$, которая не меняется, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1+C_2)}}} = \frac{\sqrt{L(C_1+C_2)}}{\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_1}}$

Возведем обе части полученного равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 = \frac{C_1+C_2}{C_1} = 1 + \frac{C_2}{C_1}$

Из этой формулы выразим искомую емкость $C_2$:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1$

$C_2 = C_1 \left( \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1 \right)$

Подставим числовые значения. Удобно оставить емкость $C_1$ в микрофарадах, чтобы получить ответ сразу в тех же единицах.

$C_2 = 1 \text{ мкФ} \cdot \left( \left(\frac{400 \text{ Гц}}{100 \text{ Гц}}\right)^2 - 1 \right)$

$C_2 = 1 \text{ мкФ} \cdot \left( 4^2 - 1 \right)$

$C_2 = 1 \text{ мкФ} \cdot (16 - 1)$

$C_2 = 15 \text{ мкФ}$

Ответ: емкость второго конденсатора равна 15 мкФ.