Номер 2, страница 47 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью $L = 10^{-6}$ Гн и плоского воздушного конденсатора, площадь каждой пластины которого $S = 100$ см$^2$, резонирует на частоте $\nu_{рез} = 2 \cdot 10^7$ Гц. Определите расстояние между пластинами конденсатора.

Ответ: 0,14 см.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 10^{-6}$ Гн
Площадь пластин конденсатора $S = 100 \text{ см}^2$
Резонансная частота $\nu = 2 \cdot 10^7 \text{ Гц}$
Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$
Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon \approx 1$

$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

$\text{d}$

Решение:

Резонансная частота колебательного контура (LC-контура) определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Ёмкость плоского конденсатора, диэлектриком в котором является воздух ($\epsilon \approx 1$), вычисляется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

Чтобы найти расстояние $\text{d}$, необходимо сначала определить ёмкость $\text{C}$ из формулы Томсона. Возведем обе части формулы в квадрат:

$\nu^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$

Отсюда выразим ёмкость:

$C = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L}$

Теперь приравняем два полученных выражения для ёмкости $\text{C}$:

$\frac{\epsilon_0 S}{d} = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L}$

Из этого равенства выразим искомое расстояние между пластинами $\text{d}$:

$d = 4\pi^2\nu^2 L \epsilon_0 S$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$d = 4\pi^2 \cdot (2 \cdot 10^7 \text{ Гц})^2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

$d = 4\pi^2 \cdot 4 \cdot 10^{14} \cdot 10^{-6} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$d = 16\pi^2 \cdot 8.85 \cdot 10^{(14-6-12-2)} \text{ м} = 16\pi^2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Принимая $\pi^2 \approx 9.87$:

$d \approx 16 \cdot 9.87 \cdot 8.85 \cdot 10^{-6} \text{ м} \approx 1397.6 \cdot 10^{-6} \text{ м} \approx 1.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры:

$d = 1.4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.14 \text{ см}$

Ответ: $0.14 \text{ см}$.