Номер 4, страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Как электрические и магнитные векторы гармонической электромагнитной волны изменяются на расстоянии от ее источника?

Дано:

Гармоническая электромагнитная волна, излучаемая источником.

Найти:

Зависимость амплитуд электрического ($E_m$) и магнитного ($B_m$) векторов от расстояния ($\text{r}$) до источника.

Решение:

Для определения зависимости амплитуд электрического и магнитного векторов от расстояния рассмотрим идеализированную модель — точечный изотропный источник, который излучает электромагнитную волну в однородной и изотропной среде, не поглощающей энергию. В этом случае волна будет распространяться от источника равномерно во все стороны, и фронт волны (поверхность равных фаз) будет представлять собой сферу.

Согласно закону сохранения энергии, полная мощность $\text{P}$, излучаемая источником, должна проходить через любую сферическую поверхность, окружающую этот источник. Площадь такой сферы радиусом $\text{r}$ равна $A = 4\pi r^2$.

Интенсивность волны $\text{I}$ — это мощность, переносимая волной через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения. Для сферической волны на расстоянии $\text{r}$ от источника интенсивность равна:

$I(r) = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$

Из этой формулы видно, что интенсивность волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника: $I \propto \frac{1}{r^2}$. Физически это означает, что одна и та же энергия по мере удаления от источника распределяется по всё большей площади.

С другой стороны, средняя интенсивность электромагнитной волны прямо пропорциональна квадратам амплитуд напряженности электрического поля ($E_m$) и индукции магнитного поля ($B_m$):

$I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_m^2 = \frac{c}{2\mu_0} B_m^2$

где $\text{c}$ — скорость света, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $\mu_0$ — магнитная постоянная. Таким образом, $I \propto E_m^2$ и $I \propto B_m^2$.

Сопоставляя оба выражения для зависимости интенсивности, мы можем связать амплитуду поля с расстоянием:

$E_m^2 \propto I \propto \frac{1}{r^2}$

$B_m^2 \propto I \propto \frac{1}{r^2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем зависимость амплитуд от расстояния:

$E_m \propto \frac{1}{r}$

$B_m \propto \frac{1}{r}$

Это означает, что амплитуды электрического и магнитного векторов сферической волны убывают обратно пропорционально первой степени расстояния от источника. Мгновенные значения полей для гармонической волны, помимо этого затухания амплитуды, также совершают колебания. Уравнения для полей сферической волны можно записать в виде:

$E(r, t) = \frac{E_0}{r} \cos(kr - \omega t + \phi_0)$

$B(r, t) = \frac{B_0}{r} \cos(kr - \omega t + \phi_0)$

Здесь $\frac{E_0}{r}$ и $\frac{B_0}{r}$ — это амплитуды $E_m(r)$ и $B_m(r)$ на расстоянии $\text{r}$. В любой точке пространства векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ остаются взаимно перпендикулярными и перпендикулярными направлению распространения волны.

Ответ:

Амплитуды электрического ($E_m$) и магнитного ($B_m$) векторов гармонической электромагнитной волны, распространяющейся от точечного источника, убывают обратно пропорционально расстоянию $\text{r}$ от этого источника. Математически это выражается как $E_m \propto \frac{1}{r}$ и $B_m \propto \frac{1}{r}$.