Номер 4, страница 105 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Расстояние между экраном и дифракционной решеткой, имеющей 125 штрихов на 1 мм, равно 2,5 м. При освещении решетки светом с длиной волны 420 нм на экране видны синие линии. Определите расстояние от центральной линии до первой линии на экране.

Ответ: 13 см.

Дано:

Расстояние между экраном и решеткой, $L = 2,5$ м

Число штрихов на 1 мм, $N_l = 125$ мм⁻¹

Длина волны света, $\lambda = 420$ нм

Порядок максимума, $k = 1$

Переведем данные в систему СИ:

$L = 2,5$ м

Длина волны: $\lambda = 420 \text{ нм} = 420 \times 10^{-9} \text{ м} = 4,2 \times 10^{-7} \text{ м}$

Число штрихов на 1 метр: $N = N_l \times 1000 = 125 \times 1000 = 125000 \text{ м}^{-1}$

Найти:

Расстояние от центральной линии до первой линии, $\text{x}$

Решение:

Условие дифракционного максимума для решетки имеет вид:

$d \sin\theta = k\lambda$

где $\text{d}$ – период дифракционной решетки, $\theta$ – угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ – порядок максимума, $\lambda$ – длина волны света.

Период решетки $\text{d}$ можно найти как величину, обратную числу штрихов на единицу длины $\text{N}$:

$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{125000 \text{ м}^{-1}} = \frac{1}{1,25 \times 10^5} \text{ м} = 0,8 \times 10^{-5} \text{ м} = 8 \times 10^{-6} \text{ м}$

Для первого максимума $k=1$. Тогда из условия максимума можем найти синус угла дифракции:

$\sin\theta = \frac{k\lambda}{d} = \frac{1 \times 4,2 \times 10^{-7} \text{ м}}{8 \times 10^{-6} \text{ м}} = \frac{4,2}{80} = 0,0525$

Расстояние $\text{x}$ от центрального максимума ($k=0$) до первого максимума ($k=1$) на экране связано с расстоянием до экрана $\text{L}$ и углом $\theta$ соотношением:

$\tan\theta = \frac{x}{L}$

Поскольку угол $\theta$ мал (так как $\sin\theta = 0,0525$ - малое значение), можно использовать приближение $\tan\theta \approx \sin\theta$.

Тогда $\frac{x}{L} \approx \sin\theta$.

Отсюда выражаем и находим $\text{x}$:

$x = L \sin\theta = 2,5 \text{ м} \times 0,0525 = 0,13125 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$x = 0,13125 \text{ м} = 13,125 \text{ см}$

Округляя до целого числа, получаем 13 см.

Ответ: расстояние от центральной линии до первой линии на экране составляет 13,125 см, что приблизительно равно 13 см.