Номер 1, страница 105 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. При освещении дифракционной решетки светом с длиной волны $590 \text{ нм}$ спектр третьего порядка виден под углом $10^\circ$. Определите длину волны, для которой спектр второго порядка будет виден под углом $6^\circ$.

Ответ: $521 \text{ нм}$.

1. Дано:

Длина волны в первом случае, $\lambda_1 = 590$ нм
Порядок спектра в первом случае, $k_1 = 3$
Угол дифракции в первом случае, $\varphi_1 = 10^\circ$
Порядок спектра во втором случае, $k_2 = 2$
Угол дифракции во втором случае, $\varphi_2 = 6^\circ$

Система СИ:
$\lambda_1 = 590 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Длину волны во втором случае $\lambda_2$.

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки задается формулой:
$d \sin\varphi = k\lambda$
где $\text{d}$ — период решетки, $\varphi$ — угол дифракции, $\text{k}$ — порядок спектра, $\lambda$ — длина волны.

Запишем это уравнение для двух экспериментов, описанных в задаче.

В первом случае:
$d \sin\varphi_1 = k_1\lambda_1$ (1)

Во втором случае:
$d \sin\varphi_2 = k_2\lambda_2$ (2)

Поскольку в обоих случаях используется одна и та же решетка, ее период $\text{d}$ является постоянной величиной. Чтобы найти связь между параметрами двух экспериментов, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{d \sin\varphi_2}{d \sin\varphi_1} = \frac{k_2\lambda_2}{k_1\lambda_1}$

Период решетки $\text{d}$ сокращается:
$\frac{\sin\varphi_2}{\sin\varphi_1} = \frac{k_2\lambda_2}{k_1\lambda_1}$

Из этого соотношения выразим искомую длину волны $\lambda_2$:
$\lambda_2 = \frac{k_1 \lambda_1 \sin\varphi_2}{k_2 \sin\varphi_1}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи. Так как мы ищем ответ в нанометрах, можно оставить $\lambda_1$ в нм.
$\lambda_2 = \frac{3 \cdot 590 \text{ нм} \cdot \sin 6^\circ}{2 \cdot \sin 10^\circ}$

Используем значения синусов: $\sin 6^\circ \approx 0.104528$ и $\sin 10^\circ \approx 0.173648$.
$\lambda_2 \approx \frac{3 \cdot 590 \cdot 0.104528}{2 \cdot 0.173648} \approx \frac{185.025}{0.347296} \approx 532.76$ нм.

Округляя результат до целых, получаем 533 нм. Ответ, приведенный в условии (521 нм), мог быть получен при небольшом отличии в исходных данных или из-за опечатки.

Ответ:$\lambda_2 \approx 533$ нм.