Номер 2, страница 105 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Как рассчитать период дифракционной решетки?

2. Как рассчитать период дифракционной решетки?

Период дифракционной решетки (обозначается как $\text{d}$) — это расстояние между центрами двух соседних щелей или штрихов решетки. Он представляет собой сумму ширины прозрачной щели ($\text{a}$) и ширины непрозрачного промежутка между щелями ($\text{b}$).

$d = a + b$

Существует несколько способов рассчитать период дифракционной решетки.

Способ 1: По известным параметрам решетки.

Если известно общее число штрихов (щелей) $N_{общ}$ на всей длине решетки $\text{L}$, то период можно найти как:

$d = \frac{L}{N_{общ}}$

Часто производители указывают число штрихов на единицу длины (например, на 1 миллиметр), которое обозначается как $\text{N}$. В этом случае период решетки рассчитывается как величина, обратная этому числу:

$d = \frac{1}{N}$

Например, если на решетке нанесено 100 штрихов/мм, то ее период равен:

$d = \frac{1}{100} \, \text{мм} = 0.01 \, \text{мм} = 10^{-5} \, \text{м}$

Способ 2: Экспериментально с помощью формулы дифракционной решетки.

Период решетки можно определить экспериментально, используя основное уравнение для дифракционной решетки, которое связывает период $\text{d}$, длину волны света $\lambda$, угол дифракции $\varphi$ и порядок максимума $\text{k}$:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где:
$\text{d}$ — период решетки (искомая величина),
$\varphi$ — угол, под которым наблюдается дифракционный максимум,
$\text{k}$ — порядок максимума (целое число: $k = 0, \pm1, \pm2, \dots$),
$\lambda$ — длина волны используемого монохроматического света.

Чтобы найти $\text{d}$, нужно измерить угол $\varphi$ для максимума известного порядка $\text{k}$ при освещении решетки светом с известной длиной волны $\lambda$. Тогда период рассчитывается по формуле:

$d = \frac{k\lambda}{\sin\varphi}$

В лабораторных условиях обычно измеряют не сам угол, а расстояние $\text{x}$ от центрального максимума ($k=0$) до максимума $\text{k}$-го порядка на экране, расположенном на расстоянии $\text{L}$ от решетки. В этом случае $\sin\varphi$ можно найти из геометрии установки:

$\sin\varphi = \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$

Если угол $\varphi$ мал, то можно использовать приближение $\sin\varphi \approx \tan\varphi = \frac{x}{L}$, но для точных расчетов следует использовать полную формулу.

Ответ: Период дифракционной решетки $\text{d}$ можно рассчитать либо по ее паспортным данным (разделив общую длину $\text{L}$ на число штрихов $N_{общ}$ или взяв обратную величину от числа штрихов на единицу длины $\text{N}$), либо экспериментально по формуле $d = \frac{k\lambda}{\sin\varphi}$, измерив угол дифракции $\varphi$ для максимума порядка $\text{k}$ при освещении светом с известной длиной волны $\lambda$.

3. Как изменяется качество дифракционной картины?

"Качество" дифракционной картины, создаваемой решеткой, не является единым понятием и зависит от того, какая характеристика важна для конкретной задачи. Обычно под улучшением качества понимают повышение четкости, яркости и способности разделять близкие спектральные линии. Качество зависит от нескольких параметров решетки и условий наблюдения.

1. Четкость и ширина дифракционных максимумов.

Главные дифракционные максимумы становятся более узкими и четкими с увеличением общего числа щелей $N_{общ}$, на которые падает свет. Чем больше щелей участвует в формировании картины, тем точнее происходит интерференционное гашение волн в промежутках между максимумами. Угловая полуширина главного максимума обратно пропорциональна $N_{общ}$. Таким образом, качество (четкость) возрастает с увеличением общего числа работающих щелей решетки.

2. Разрешающая способность.

Разрешающая способность $\text{R}$ — это способность решетки разделять две близкие по длине волны спектральные линии ($\lambda$ и $\lambda+\Delta\lambda$). Она определяется по формуле:

$R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda_{min}} = k \cdot N_{общ}$

где $\text{k}$ — порядок спектра, а $N_{общ}$ — общее число щелей, освещенных светом. Из формулы видно, что разрешающая способность (качество спектрального анализа) растет прямо пропорционально порядку спектра $\text{k}$ и общему числу штрихов $N_{общ}$. Для лучшего разрешения следует использовать решетки с большим числом штрихов и наблюдать спектры более высоких порядков.

3. Дисперсия.

Угловая дисперсия $\text{D}$ показывает, насколько сильно разделяются в пространстве лучи с разной длиной волны. Она определяется как $D = \frac{d\varphi}{d\lambda}$. Из формулы решетки $d \sin\varphi = k\lambda$ можно получить:

$D = \frac{k}{d \cos\varphi}$

Большая дисперсия означает, что спектр получается более "растянутым", что облегчает его анализ. Дисперсия увеличивается с ростом порядка спектра $\text{k}$ и с уменьшением периода решетки $\text{d}$ (то есть чем больше штрихов на миллиметр, тем выше дисперсия).

4. Интенсивность (яркость) максимумов.

Интенсивность главных максимумов пропорциональна квадрату общего числа щелей ($I \sim N_{общ}^2$). Поэтому увеличение числа освещенных щелей $N_{общ}$ приводит к значительному увеличению яркости дифракционной картины, что улучшает ее наблюдаемость.

Ответ: Качество дифракционной картины улучшается с увеличением общего числа штрихов решетки, на которые падает свет ($N_{общ}$), так как это приводит к более узким, четким и ярким максимумам, а также к повышению разрешающей способности. Качество также зависит от периода решетки $\text{d}$ и порядка наблюдаемого спектра $\text{k}$: меньший период $\text{d}$ и больший порядок $\text{k}$ увеличивают угловую дисперсию и разрешающую способность, делая спектр более детальным.