Номер 3, страница 105 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Как изменяется качество дифракционной картины от решетки с изменением периода решетки?

3. Как изменяется качество дифракционной картины от решетки с изменением периода решетки?

Качество дифракционной картины, создаваемой дифракционной решеткой, определяется в первую очередь четкостью и степенью разделения дифракционных максимумов (спектральных линий). Основным параметром, влияющим на это, является период решетки $\text{d}$.

Положение главных максимумов в дифракционной картине описывается формулой дифракционной решетки: $d \sin\varphi = k\lambda$ где $\text{d}$ — период решетки, $\varphi$ — угол дифракции (угол, под которым наблюдается максимум), $\text{k}$ — порядок максимума (целое число: $0, \pm1, \pm2, ...$), а $\lambda$ — длина волны света.

Из этой формулы можно выразить синус угла дифракции: $\sin\varphi = \frac{k\lambda}{d}$.

Рассмотрим, как изменение периода $\text{d}$ влияет на картину:

1. Уменьшение периода решетки ($\text{d}$): Если уменьшить период решетки $\text{d}$, то при тех же значениях порядка $\text{k}$ и длины волны $\lambda$ значение дроби $\frac{k\lambda}{d}$ увеличится. Следовательно, увеличится и угол дифракции $\varphi$. Это означает, что дифракционные максимумы будут наблюдаться под большими углами, то есть они будут располагаться дальше друг от друга. Расстояние между линиями, соответствующими разным длинам волн, также увеличится. Это приводит к растяжению спектра, что позволяет лучше различать близкие спектральные линии. Таким образом, качество дифракционной картины (ее разрешающая способность) улучшается.

2. Увеличение периода решетки ($\text{d}$): Если увеличить период $\text{d}$, то углы дифракции $\varphi$ для всех порядков (кроме нулевого) уменьшатся. Дифракционная картина сожмется, максимумы сблизятся, и различать близкие по длине волны линии станет сложнее. Качество картины ухудшится.

Таким образом, для получения четкой дифракционной картины с хорошо разделенными максимумами следует использовать решетки с малым периодом (т.е. с большим числом штрихов на миллиметр).

Ответ: С уменьшением периода дифракционной решетки угловое расстояние между дифракционными максимумами увеличивается, что приводит к улучшению качества (четкости и разрешающей способности) дифракционной картины. При увеличении периода решетки качество картины ухудшается.

4. Как определить длину световой волны с помощью дифракционной решетки?

Для определения длины световой волны с помощью дифракционной решетки необходимо провести эксперимент, в ходе которого измеряются параметры получаемой дифракционной картины.

Дано:

$\text{d}$ — период дифракционной решетки (известен из паспорта прибора или рассчитывается как $d = 1/N$, где $\text{N}$ — число штрихов на 1 мм).
$\text{k}$ — порядок наблюдаемого дифракционного максимума (целое число, например, $k=1$ для первого максимума).
$\text{L}$ — расстояние от дифракционной решетки до экрана, на котором наблюдается картина.
$x_k$ — расстояние на экране от центрального (нулевого) максимума до максимума $\text{k}$-го порядка.

Найти:

$\lambda$ — длина световой волны.

Решение:

1. Устанавливают источник света, дифракционную решетку и экран так, чтобы лучи света падали на решетку перпендикулярно ее плоскости, а экран был параллелен решетке.

2. На экране наблюдается дифракционная картина: яркий центральный максимум ($k=0$) и симметрично расположенные относительно него максимумы высших порядков ($k=\pm1, \pm2, \dots$).

3. Измеряют расстояние $\text{L}$ от решетки до экрана с помощью рулетки или линейки.

4. Измеряют расстояние $x_k$ от центрального максимума до одного из максимумов известного порядка $\text{k}$ (например, до первого, $k=1$). Для повышения точности можно измерить расстояние $2x_k$ между двумя симметричными максимумами $\text{k}$-го порядка и разделить результат пополам.

5. Условие наблюдения максимума $\text{k}$-го порядка определяется формулой дифракционной решетки: $d \sin\varphi_k = k\lambda$ где $\varphi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $\text{k}$-го порядка.

6. Из геометрии установки (рассматривая прямоугольный треугольник с катетами $\text{L}$ и $x_k$) можно найти синус угла $\varphi_k$: $\sin\varphi_k = \frac{x_k}{\sqrt{L^2 + x_k^2}}$

7. Подставляем выражение для синуса в формулу решетки и выражаем искомую длину волны $\lambda$: $d \frac{x_k}{\sqrt{L^2 + x_k^2}} = k\lambda$
$\lambda = \frac{d \cdot x_k}{k \cdot \sqrt{L^2 + x_k^2}}$

8. Часто в школьных лабораторных работах расстояние до экрана $\text{L}$ значительно больше расстояния до максимума $x_k$ ($L \gg x_k$). В этом случае можно использовать приближение малых углов, когда $\sin\varphi_k \approx \tan\varphi_k = \frac{x_k}{L}$. Тогда формула для расчета длины волны упрощается: $d \frac{x_k}{L} \approx k\lambda$
$\lambda \approx \frac{d \cdot x_k}{k \cdot L}$

Подставив измеренные значения $\text{L}$ и $x_k$, а также известные $\text{d}$ и $\text{k}$ в соответствующую формулу, вычисляют длину волны света $\lambda$.

Ответ: Длину световой волны можно определить, измерив расстояние $\text{L}$ от дифракционной решетки до экрана и расстояние $x_k$ от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка, а затем вычислив ее по формуле $\lambda = \frac{d \cdot x_k}{k \cdot \sqrt{L^2 + x_k^2}}$ или, в приближении малых углов, по формуле $\lambda \approx \frac{d \cdot x_k}{k \cdot L}$, где $\text{d}$ — известный период решетки.