Номер 4, страница 192 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы разложить ядро кальция $^{\text{40}}_{\text{20}}\text{Ca}$ на протоны и нейтроны?

Ответ: 342 МэВ.

Дано:

Ядро кальция $_{20}^{40}\text{Ca}$

Масса атома водорода (протон + электрон) $m_{H} \approx 1.007825$ а.е.м.

Масса нейтрона $m_n \approx 1.008665$ а.е.м.

Масса атома кальция-40 $m_{a(^{40}\text{Ca})} \approx 39.962591$ а.е.м.

Энергетический эквивалент атомной единицы массы $c^2 \cdot 1 \text{ а.е.м.} \approx 931.5$ МэВ

В данной задаче перевод в систему СИ нецелесообразен, так как расчеты в атомных единицах массы (а.е.м.) и мегаэлектронвольтах (МэВ) являются стандартными для ядерной физики и значительно упрощают вычисления.

Найти:

Минимальную работу для разложения ядра $A_{min}$.

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы разложить ядро на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны), равна энергии связи этого ядра. Энергия связи ($E_{св}$) определяется дефектом массы ($\Delta m$) согласно формуле Эйнштейна:

$A_{min} = E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект массы — это разница между суммарной массой всех нуклонов, составляющих ядро, и реальной массой ядра. Для удобства расчетов используются массы нейтральных атомов, так как массы электронов при этом сокращаются (масса атома водорода вместо массы протона, и масса атома элемента вместо массы его ядра).

1. Определим состав ядра кальция $_{20}^{40}\text{Ca}$:

Зарядовое число (число протонов) $Z = 20$.

Массовое число (общее число нуклонов) $A = 40$.

Число нейтронов $N = A - Z = 40 - 20 = 20$.

2. Рассчитаем суммарную массу составляющих частиц (20 атомов водорода и 20 нейтронов):

$M_{сост} = Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 20 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 20 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}$

$M_{сост} = 20.1565 \text{ а.е.м.} + 20.1733 \text{ а.е.м.} = 40.3298 \text{ а.е.м.}$

3. Найдем дефект массы $\Delta m$ как разность между суммарной массой составляющих и массой атома кальция:

$\Delta m = M_{сост} - m_{a(^{40}\text{Ca})} = 40.3298 \text{ а.е.м.} - 39.962591 \text{ а.е.м.} = 0.367209 \text{ а.е.м.}$

4. Вычислим энергию связи, которая равна искомой минимальной работе:

$A_{min} = E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

$A_{min} = 0.367209 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 342.05 \text{ МэВ}$

Округляя до целого числа, получаем 342 МэВ.

Ответ: $342 \text{ МэВ}$.