Номер 5, страница 407 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 16. Строение вселенной. Параграф 109. Примеры решения задач по теме «Астрономия». Задачи для самостоятельного решения - номер 5, страница 407.

Условие.

5. Используя зависимость светимости звезды от массы (см. формулу 15.4)) и учитывая тот факт, что запасы ядерной энергии пропорциональны её массе, оцените, как зависит время жизни звезды от её массы и во сколько раз отличается время жизни звезды с массой $M = 10M_{\odot}$ от времени жизни звезды типа Солнца.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса звезды $M = 10M_{\odot}$
Масса Солнца $M_{\odot}$
Зависимость светимости от массы (соотношение «масса-светимость»): $L \propto M^{\alpha}$, где для звезд массивнее Солнца $\alpha \approx 3.5$
Запасы ядерной энергии: $E \propto M$

Найти:

Зависимость времени жизни звезды $t$ от её массы $M$; во сколько раз отличается время жизни звезды с массой $M$ от времени жизни Солнца, то есть отношение $\frac{t_{\odot}}{t}$.

Решение:

Время жизни звезды на главной последовательности ($t$) можно оценить как отношение общих запасов доступной для термоядерных реакций энергии ($E$) к скорости расхода этой энергии, то есть к светимости звезды ($L$).

$t \approx \frac{E}{L}$

Согласно условию задачи, запасы ядерной энергии звезды пропорциональны её массе. Это связано с тем, что количество термоядерного «топлива» (в основном водорода) пропорционально полной массе звезды.

$E \propto M$

Светимость звезды ($L$) связана с её массой ($M$) степенной зависимостью, известной как соотношение «масса-светимость». Как указано в задаче (ссылка на формулу 15.4), для звезд главной последовательности, масса которых сравнима с массой Солнца или превышает ее, эта зависимость имеет вид:

$L \propto M^{\alpha}$, где показатель степени $\alpha$ для таких звезд составляет примерно 3.5.

Таким образом, $L \propto M^{3.5}$.

Теперь мы можем выразить зависимость времени жизни звезды от её массы, подставив пропорциональности для $E$ и $L$ в исходную формулу:

$t \propto \frac{E}{L} \propto \frac{M}{M^{3.5}} = M^{1 - 3.5} = M^{-2.5}$

Итак, время жизни звезды обратно пропорционально её массе в степени 2.5: $t \propto M^{-2.5}$. Это означает, что более массивные звезды живут значительно меньше, чем маломассивные, так как они гораздо быстрее и интенсивнее сжигают своё ядерное топливо. Это ответ на первую часть вопроса.

Далее найдем, во сколько раз время жизни звезды с массой $M = 10M_{\odot}$ отличается от времени жизни Солнца ($t_{\odot}$). Обозначим время жизни массивной звезды как $t$, а время жизни Солнца как $t_{\odot}$. Их массы равны $M$ и $M_{\odot}$ соответственно.

Составим отношение их времен жизни, используя выведенную зависимость:

$\frac{t}{t_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{-2.5}$

Подставим значение массы $M = 10M_{\odot}$:

$\frac{t}{t_{\odot}} = \left(\frac{10M_{\odot}}{M_{\odot}}\right)^{-2.5} = 10^{-2.5}$

Чтобы узнать, во сколько раз время жизни Солнца больше времени жизни массивной звезды, найдем обратное отношение:

$\frac{t_{\odot}}{t} = \frac{1}{10^{-2.5}} = 10^{2.5} = 10^{5/2} = \sqrt{10^5} = \sqrt{100000} = 100\sqrt{10}$

Вычислим приближенное значение, зная, что $\sqrt{10} \approx 3.162$:

$\frac{t_{\odot}}{t} \approx 100 \times 3.162 = 316.2$

Таким образом, время жизни Солнца примерно в 316 раз дольше, чем время жизни звезды, которая в 10 раз массивнее.

Ответ:

Время жизни звезды $t$ зависит от её массы $M$ как $t \propto M^{-2.5}$. Время жизни звезды типа Солнца примерно в 316 раз больше времени жизни звезды с массой $10M_{\odot}$.