Номер 6, страница 407 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 16. Строение вселенной. Параграф 109. Примеры решения задач по теме «Астрономия». Задачи для самостоятельного решения - номер 6, страница 407.

Условие.

6. Галактика с видимым угловым диаметром $15''$ имеет красное смещение 0,25. Оцените её линейный диаметр. Сколько лет идёт свет от неё до Земли?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Видимый угловой диаметр галактики: $ \theta = 15'' $

Красное смещение: $ z = 0.25 $

Для расчетов примем справочные значения констант:

Постоянная Хаббла: $ H_0 \approx 70 \text{ км/(с·Мпк)} $. (Значение этой константы определяется экспериментально и может варьироваться в разных источниках)

Скорость света в вакууме: $ c \approx 3 \times 10^5 \text{ км/с} $

Перевод в другие единицы:

Угловой диаметр в радианах:

$ \theta = 15'' = 15 \cdot \frac{\pi}{180 \cdot 3600} \text{ рад} \approx 7.272 \times 10^{-5} \text{ рад} $

Найти:

1. Линейный диаметр галактики $ D $.

2. Время, за которое свет доходит от галактики до Земли (время пути света) $ t $.

Решение:

Оцените её линейный диаметр.

Сначала определим расстояние до галактики. Скорость удаления галактики, связанная с расширением Вселенной, определяется по её красному смещению $ z $:

$ v \approx cz = 0.25 \cdot 3 \times 10^5 \text{ км/с} = 75000 \text{ км/с} $

Используя закон Хаббла ($ v = H_0 r $), оценим так называемое расстояние Хаббла до галактики:

$ r = \frac{v}{H_0} = \frac{cz}{H_0} = \frac{75000 \text{ км/с}}{70 \text{ км/(с·Мпк)}} \approx 1071 \text{ Мпк} $

Для вычисления линейного размера $ D $ по угловому размеру $ \theta $ для космологических объектов используется не расстояние Хаббла, а так называемое угловое расстояние $ d_A $. Оно учитывает тот факт, что в момент испускания света объект был ближе к нам из-за расширения Вселенной. Угловое расстояние связано с расстоянием Хаббла $ r $ соотношением $ d_A = \frac{r}{1+z} $.

$ d_A = \frac{1071 \text{ Мпк}}{1 + 0.25} = \frac{1071 \text{ Мпк}}{1.25} \approx 857 \text{ Мпк} $

Теперь можно найти линейный диаметр $ D $ по формуле для малых углов $ D = d_A \cdot \theta $, где $ \theta $ выражен в радианах.

$ D = 857 \text{ Мпк} \cdot 7.272 \times 10^{-5} \text{ рад} \approx 0.0623 \text{ Мпк} $

Переведем мегапарсеки в более привычные для размеров галактик килопарсеки ($ 1 \text{ Мпк} = 1000 \text{ кпк} $):

$ D \approx 0.0623 \cdot 1000 \text{ кпк} = 62.3 \text{ кпк} $

Ответ: Линейный диаметр галактики составляет примерно 62.3 кпк.

Сколько лет идёт свет от неё до Земли?

Время, которое свет шел от галактики до нас (также известное как "времяมองย้อนกลับ"), можно оценить, зная расстояние до галактики. Для не слишком больших красных смещений, как в нашем случае, можно считать, что время пути света в годах численно равно расстоянию Хаббла в световых годах.

Сначала переведем расстояние Хаббла $ r $ из мегапарсек в световые годы, используя соотношение $ 1 \text{ Мпк} \approx 3.26 \times 10^6 \text{ световых лет} $.

$ r \approx 1071 \text{ Мпк} \cdot 3.26 \times 10^6 \frac{\text{св. лет}}{\text{Мпк}} \approx 3.49 \times 10^9 \text{ световых лет} $

Это расстояние означает, что свету потребовалось примерно $ 3.49 \times 10^9 $ лет, чтобы достичь Земли.

Этот результат согласуется с приближенной формулой $ t \approx \frac{z}{H_0} $. Если выразить время Хаббла $ t_H = 1/H_0 $ в годах ($ t_H \approx 14 $ млрд лет), то получим:

$ t \approx z \cdot t_H = 0.25 \cdot 14 \text{ млрд лет} = 3.5 \text{ млрд лет} $

Ответ: Свет от галактики до Земли идет примерно 3.5 миллиарда лет.