Номер 4, страница 407 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 109. Примеры решения задач по теме «Астрономия». Глава 16. Строение вселенной - номер 4, страница 407.

Условие.

4. Звезда Ригель ($\beta$ Ориона) спектрального класса А имеет светимость $2 \cdot 10^5 L_{\odot}$ и массу $40 M_{\odot}$. К какой группе звёзд на диаграмме Герцшпрунга—Рассела она относится? Чему равны её радиус и средняя плотность?

Решение.

Решение 2.

Дано:
Звезда: Ригель (β Ориона)
Спектральный класс: А
Светимость: $L = 2 \cdot 10^5 L_{\odot}$
Масса: $M = 40 M_{\odot}$

Справочные данные и перевод в СИ:
Светимость Солнца: $L_{\odot} \approx 3.828 \cdot 10^{26}$ Вт
Масса Солнца: $M_{\odot} \approx 1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Радиус Солнца: $R_{\odot} \approx 6.96 \cdot 10^8$ м
Постоянная Стефана–Больцмана: $\sigma \approx 5.67 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴)
Эффективная температура для звезд спектрального класса А: $T \approx 7500 - 10000$ К. Для расчетов примем $T = 10000$ К.

$L = 2 \cdot 10^5 \cdot (3.828 \cdot 10^{26} \text{ Вт}) \approx 7.66 \cdot 10^{31}$ Вт
$M = 40 \cdot (1.989 \cdot 10^{30} \text{ кг}) \approx 7.96 \cdot 10^{31}$ кг

Найти:
1. Группу звезды на диаграмме Герцшпрунга—Рассела.
2. Радиус звезды $R$.
3. Среднюю плотность звезды $\rho$.

Решение:

К какой группе звёзд на диаграмме Герцшпрунга—Рассела она относится?
На диаграмме Герцшпрунга—Рассела звезды группируются по светимости и температуре (спектральному классу). Звезды главной последовательности спектрального класса А имеют массу порядка 2–3 $M_{\odot}$ и светимость 5–80 $L_{\odot}$.
Данная звезда имеет массу $40 M_{\odot}$ и светимость $2 \cdot 10^5 L_{\odot}$, что на несколько порядков превышает типичные значения для звезд главной последовательности. Такие чрезвычайно массивные и яркие звезды, которые уже сошли с главной последовательности, находятся в верхней части диаграммы. Следовательно, Ригель относится к сверхгигантам.
Ответ: Звезда Ригель относится к группе сверхгигантов.

Чему равны её радиус и средняя плотность?
Радиус звезды можно найти из закона Стефана–Больцмана, который связывает светимость, радиус и температуру звезды:
$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$
Выразим из формулы радиус $R$:
$R = \sqrt{\frac{L}{4\pi \sigma T^4}}$
Подставим числовые значения в системе СИ, приняв температуру $T = 10000$ К, что соответствует верхней границе для класса А:
$R = \sqrt{\frac{7.66 \cdot 10^{31}}{4 \cdot 3.14 \cdot (5.67 \cdot 10^{-8}) \cdot (10000)^4}} = \sqrt{\frac{7.66 \cdot 10^{31}}{7.12 \cdot 10^9}} \approx \sqrt{1.076 \cdot 10^{22}} \approx 1.04 \cdot 10^{11}$ м.
Это примерно $1.04 \cdot 10^{11} / (6.96 \cdot 10^8) \approx 150$ радиусов Солнца.

Теперь найдем среднюю плотность звезды по формуле $\rho = \frac{M}{V}$, где $V$ — объем звезды. Будем считать звезду шаром, тогда её объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$V = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (1.04 \cdot 10^{11})^3 \approx 4.7 \cdot 10^{33}$ м³.
Вычислим плотность:
$\rho = \frac{7.96 \cdot 10^{31}}{4.7 \cdot 10^{33}} \approx 0.017$ кг/м³.
Такая низкая средняя плотность (значительно меньше плотности воздуха при нормальных условиях) характерна для звезд-сверхгигантов.
Ответ: Радиус звезды равен примерно $1.04 \cdot 10^{11}$ м (или около 150 радиусов Солнца), а средняя плотность — примерно 0.017 кг/м³.