Номер 1, страница 407 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 109. Примеры решения задач по теме «Астрономия». Глава 16. Строение вселенной - номер 1, страница 407.

Условие.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите массу Марса по движению его спутника Деймоса, среднее расстояние от которого до планеты $a = 23\,500$ км, период обращения 1,26 сут.

Решение.

Решение 2.

1. Дано:

Среднее расстояние от Деймоса до Марса (большая полуось орбиты), $a = 23 500$ км
Период обращения Деймоса, $T = 1,26$ сут
Гравитационная постоянная, $G \approx 6,674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем данные в систему СИ:

$a = 23 500 \text{ км} = 23 500 \times 10^3 \text{ м} = 2,35 \times 10^7 \text{ м}$
$T = 1,26 \text{ сут} = 1,26 \times 24 \text{ ч} \times 3600 \text{ с/ч} = 108 864 \text{ с}$

Найти:

Массу Марса — $M_М$.

Решение:

Для определения массы планеты можно использовать третий обобщенный закон Кеплера. Этот закон связывает период обращения спутника $T$ и большую полуось его орбиты $a$ с массой центрального тела $M$ (в данном случае Марса). Формула имеет вид:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_М+m_{Д}) }$

где $M_М$ — масса Марса, а $m_{Д}$ — масса Деймоса.

Масса спутника Деймоса ничтожно мала по сравнению с массой Марса ($m_{Д} \ll M_М$), поэтому массой спутника в знаменателе можно пренебречь. Тогда формула упрощается:

$\frac{T^2}{a^3} \approx \frac{4\pi^2}{GM_М}$

Выразим из этой формулы массу Марса $M_М$:

$M_М = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$M_М = \frac{4 \times (3,1416)^2 \times (2,35 \times 10^7 \text{ м})^3}{6,674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \times (108 864 \text{ с})^2}$

$M_М = \frac{4 \times 9,8696 \times 1,2978 \times 10^{22} \text{ м}^3}{6,674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \times 1,1851 \times 10^{10} \text{ с}^2}$

$M_М = \frac{5,124 \times 10^{23}}{0,7909} \text{ кг} \approx 6,479 \times 10^{23} \text{ кг}$

Округлим полученное значение.

Ответ: масса Марса примерно равна $6,48 \times 10^{23}$ кг.