Номер 2, страница 407 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 109. Примеры решения задач по теме «Астрономия». Глава 16. Строение вселенной - номер 2, страница 407.

Условие.

2. Планета-карлик Плутон удалена от Солнца на расстояние 39,5 а. е. Сколько лет длится год на Плутоне?

Решение.

Решение 2.

2. Дано:

Среднее расстояние от Плутона до Солнца (большая полуось орбиты), $a_{П} = 39,5$ а. е.

Для справки (параметры Земли):

Большая полуось орбиты Земли, $a_{З} = 1$ а. е.

Период обращения Земли (земной год), $T_{З} = 1$ год.

Найти:

Период обращения Плутона вокруг Солнца (год на Плутоне), $T_{П}$ - ?

Решение:

Для определения периода обращения планеты вокруг Солнца используется третий закон Кеплера. В обобщенной форме он гласит, что квадраты периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$

Если в качестве одной из планет взять Землю, а единицы измерения выбрать земные годы для периода и астрономические единицы (а. е.) для расстояния, то формула значительно упрощается. Так как для Земли $T_{З} = 1$ год и $a_{З} = 1$ а. е., то для любой другой планеты Солнечной системы (в данном случае, для Плутона) соотношение будет выглядеть так:

$\frac{T_{П}^2}{1^2} = \frac{a_{П}^3}{1^3}$

Что сводится к простому уравнению:

$T_{П}^2 = a_{П}^3$

Здесь $T_{П}$ будет выражен в земных годах, а $a_{П}$ — в астрономических единицах.

Чтобы найти $T_{П}$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

$T_{П} = \sqrt{a_{П}^3}$

Подставим данное из условия значение большой полуоси орбиты Плутона $a_{П} = 39,5$ а. е.:

$T_{П} = \sqrt{(39,5)^3}$

Выполним вычисления:

1. Возводим в куб: $(39,5)^3 = 39,5 \cdot 39,5 \cdot 39,5 = 61629,875$

2. Извлекаем квадратный корень: $T_{П} = \sqrt{61629,875} \approx 248,25$ лет.

Округляя до десятых, получаем, что год на Плутоне длится около 248,3 земных года.

Ответ: год на Плутоне длится примерно 248,3 года.