Номер 4, страница 139 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 34. Примеры решения задач по теме «Интерференция и дифракция механических волн». Глава 5. Механические волны - номер 4, страница 139.

Условие.

4. Свободная скрипичная струна колеблется с частотой 180 Гц. С какой частотой будет звучать струна, если её уменьшить на четверть длины?

Решение.

Решение 2.

Дано:

начальная частота колебаний струны $f_1 = 180 \text{ Гц}$
начальная длина струны $L_1$
конечная длина струны $L_2 = L_1 - \frac{1}{4}L_1 = \frac{3}{4}L_1$

Найти:

конечную частоту колебаний струны $f_2$

Решение:

Частота основного тона (первой гармоники) колебаний струны, закрепленной на двух концах, обратно пропорциональна ее длине. Это следует из формулы для частоты стоячей волны на струне:

$f = \frac{v}{2L}$

где $f$ — частота колебаний, $L$ — длина колеблющейся части струны, а $v$ — скорость распространения волны по струне. Скорость волны $v$ зависит от натяжения и линейной плотности струны, которые в данном случае остаются неизменными.

Запишем формулу для начального и конечного состояний струны:

$f_1 = \frac{v}{2L_1}$

$f_2 = \frac{v}{2L_2}$

Чтобы найти соотношение между частотами, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{v}{2L_2}}{\frac{v}{2L_1}} = \frac{v}{2L_2} \cdot \frac{2L_1}{v} = \frac{L_1}{L_2}$

Из этого соотношения выразим искомую частоту $f_2$:

$f_2 = f_1 \cdot \frac{L_1}{L_2}$

Согласно условию, длину струны уменьшили на четверть, то есть ее новая длина $L_2$ составляет три четверти от первоначальной длины $L_1$:

$L_2 = L_1 - \frac{1}{4}L_1 = \frac{3}{4}L_1$

Подставим это соотношение в формулу для $f_2$:

$f_2 = f_1 \cdot \frac{L_1}{\frac{3}{4}L_1} = f_1 \cdot \frac{4}{3}$

Теперь подставим известное значение начальной частоты $f_1 = 180 \text{ Гц}$ и вычислим $f_2$:

$f_2 = 180 \text{ Гц} \cdot \frac{4}{3} = 60 \text{ Гц} \cdot 4 = 240 \text{ Гц}$

Ответ: новая частота звучания струны составит 240 Гц.