Страница 46 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. Самолёт летит горизонтально со скоростью 900 км/ч. Определите разность потенциалов между концами его крыльев, если модуль вертикальной составляющей магнитной индукции земного магнитного поля $5 \cdot 10^{-5}$ Тл, а размах крыльев 12 м.

5. Дано:
Скорость самолёта, $v = 900 \text{ км/ч}$
Вертикальная составляющая магнитной индукции, $B_{\perp} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$
Размах крыльев, $l = 12 \text{ м}$

Найти:
Разность потенциалов, $\Delta\varphi$

Решение:
Когда самолёт летит горизонтально, его крылья, являясь проводником, пересекают вертикальную составляющую магнитного поля Земли. В результате этого в крыльях возникает электромагнитная индукция.
На свободные заряды в металле крыльев действует сила Лоренца, которая заставляет их перемещаться к одному из концов крыла. Это приводит к возникновению разности потенциалов (ЭДС индукции) между концами крыльев.
Величину этой ЭДС индукции можно рассчитать по формуле для проводника, движущегося в магнитном поле:
$\mathcal{E} = B_{\perp} l v \sin\alpha$
где $B_{\perp}$ — модуль вертикальной составляющей магнитной индукции, $l$ — длина проводника (размах крыльев), $v$ — скорость движения проводника, а $\alpha$ — угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}_{\perp}$.
Так как самолёт летит горизонтально, а составляющая магнитного поля вертикальна, то вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции. Также размах крыльев перпендикулярен направлению полёта. Таким образом, все три величины ($B_{\perp}$, $l$, $v$) взаимно перпендикулярны. Угол $\alpha$ между скоростью и магнитной индукцией составляет $90^\circ$, поэтому $\sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1$.
Формула упрощается до:
$\mathcal{E} = B_{\perp} l v$
Возникшая ЭДС индукции и есть искомая разность потенциалов $\Delta\varphi$.
Подставим числовые значения в формулу:
$\Delta\varphi = \mathcal{E} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \cdot 12 \text{ м} \cdot 250 \text{ м/с}$
$\Delta\varphi = (5 \cdot 12 \cdot 250) \cdot 10^{-5} \text{ В}$
$\Delta\varphi = (60 \cdot 250) \cdot 10^{-5} \text{ В}$
$\Delta\varphi = 15000 \cdot 10^{-5} \text{ В} = 0.15 \text{ В}$

Ответ: разность потенциалов между концами крыльев составляет $0.15 \text{ В}$.

6. В однородном магнитном поле, индукция которого $\vec{B}$, находится замкнутый проводник в виде окружности радиусом $r$, причём плоскость, которой принадлежит виток, перпендикулярна вектору $\vec{B}$. Какой заряд пройдёт по проводнику, если в магнитном поле проводник деформировать, превратив его в квадрат? Сопротивление проводника $R$.

Дано:

Индукция однородного магнитного поля: $B$
Начальная форма проводника: окружность
Радиус окружности: $r$
Конечная форма проводника: квадрат
Сопротивление проводника: $R$
Плоскость витка перпендикулярна вектору $\vec{B}$

Найти:

Заряд $q$, прошедший по проводнику.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$ через контур, в нем возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}_i$: $$ \mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt} $$ Эта ЭДС порождает в замкнутом проводнике индукционный ток $I$. По закону Ома для замкнутой цепи: $$ I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = -\frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dt} $$ Ток — это скорость протекания заряда ($I = dq/dt$). Следовательно, заряд $q$, прошедший через сечение проводника за время деформации, можно найти, проинтегрировав ток по времени: $$ dq = I dt = -\frac{1}{R}d\Phi $$ $$ q = \int dq = -\frac{1}{R} \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} d\Phi = -\frac{\Phi_2 - \Phi_1}{R} = \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{R} $$ Здесь $\Phi_1$ — начальный магнитный поток, а $\Phi_2$ — конечный.

Магнитный поток через плоский контур в однородном поле вычисляется по формуле $\Phi = B S \cos\alpha$, где $S$ — площадь контура, а $\alpha$ — угол между вектором индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура. По условию задачи, плоскость контура перпендикулярна вектору $\vec{B}$, значит, нормаль к плоскости параллельна $\vec{B}$, и угол $\alpha = 0^\circ$. Тогда $\cos\alpha = 1$, и формула для потока упрощается до $\Phi = BS$.

1. Найдем начальный магнитный поток $\Phi_1$. Изначально проводник имеет форму окружности радиусом $r$. Его площадь $S_1 = \pi r^2$. Следовательно, начальный магнитный поток равен: $$ \Phi_1 = B S_1 = B \pi r^2 $$

2. Найдем конечный магнитный поток $\Phi_2$. Проводник деформируют в квадрат. Длина проводника при этом сохраняется. Начальная длина проводника (длина окружности) равна $L = 2\pi r$. Эта же длина составляет периметр квадрата $P$. Если сторона квадрата равна $a$, то $P = 4a$. Приравниваем длину и периметр: $$ 2\pi r = 4a $$ Отсюда находим сторону квадрата: $$ a = \frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2} $$ Площадь квадрата $S_2$ равна: $$ S_2 = a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4} $$ Конечный магнитный поток: $$ \Phi_2 = B S_2 = B \frac{\pi^2 r^2}{4} $$

3. Рассчитаем прошедший заряд $q$. Подставим найденные значения потоков в формулу для заряда: $$ q = \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{R} = \frac{B \pi r^2 - B \frac{\pi^2 r^2}{4}}{R} $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ q = \frac{B \pi r^2}{R} \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) $$ Упростим выражение: $$ q = \frac{B \pi r^2 (4 - \pi)}{4R} $$

Ответ: $q = \frac{B \pi r^2 (4 - \pi)}{4R}$.

1. Плоская горизонтальная фигура площадью $S = 0,1 \text{ м}^2$, ограниченная проводящим контуром, сопротивление которого $R = 5 \text{ Ом}$, находится в однородном магнитном поле. Какой заряд проходит по контуру за большой промежуток времени, пока проекция магнитной индукции на вертикаль Z равномерно меняется от $B_{1z} = 2 \text{ Тл}$ до $B_{2z} = -2 \text{ Тл}$?

Дано:

Найти:

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в этом контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}_i$, равная скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt}$

Эта ЭДС создает в контуре индукционный ток $I$. По закону Ома для замкнутой цепи, сила этого тока равна:

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = - \frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$

Сила тока по определению — это заряд $dq$, проходящий через поперечное сечение проводника за промежуток времени $dt$:

$I = \frac{dq}{dt}$

Приравняем два выражения для силы тока:

$\frac{dq}{dt} = - \frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$

Отсюда можно выразить заряд $dq$, который проходит по контуру за время $dt$:

$dq = - \frac{1}{R} d\Phi$

Чтобы найти полный заряд $q$, прошедший по контуру за всё время изменения магнитного поля, нужно проинтегрировать это выражение. Интегрирование по времени от начального до конечного момента соответствует интегрированию по магнитному потоку от начального значения $\Phi_1$ до конечного $\Phi_2$:

$q = \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} \left( - \frac{1}{R} \right) d\Phi = - \frac{1}{R} (\Phi_2 - \Phi_1) = - \frac{\Delta\Phi}{R}$

Магнитный поток $\Phi$ через плоскую фигуру площадью $S$ в однородном магнитном поле определяется как произведение площади на проекцию вектора магнитной индукции на нормаль (перпендикуляр) к плоскости контура. Поскольку фигура горизонтальная, а нас интересует проекция на вертикаль $Z$, то нормаль к контуру параллельна оси $Z$. Таким образом:

$\Phi = B_z S$

Найдем начальный и конечный магнитные потоки:

$\Phi_1 = B_{1z} S = 2 \text{ Тл} \cdot 0,1 \text{ м}^2 = 0,2 \text{ Вб}$

$\Phi_2 = B_{2z} S = -2 \text{ Тл} \cdot 0,1 \text{ м}^2 = -0,2 \text{ Вб}$

Теперь найдем изменение магнитного потока $\Delta\Phi$:

$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = -0,2 \text{ Вб} - 0,2 \text{ Вб} = -0,4 \text{ Вб}$

Подставим найденное значение в формулу для заряда:

$q = - \frac{\Delta\Phi}{R} = - \frac{-0,4 \text{ Вб}}{5 \text{ Ом}} = \frac{0,4}{5} \text{ Кл} = 0,08 \text{ Кл}$

Таким образом, по контуру пройдет заряд, равный 0,08 Кл. Отметим, что результат не зависит от времени, в течение которого происходило изменение магнитного поля.

Ответ: $q = 0,08 \text{ Кл}$.

2. Медное кольцо из провода диаметром 2 мм расположено в однородном магнитном поле, магнитная индукция которого меняется по модулю со скоростью 1,09 Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Чему равен диаметр кольца, если сила индукционного тока, возникающего в нём, равна 10 А? Удельное сопротивление меди $ \rho = 1,72 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м} $.

Дано:

Диаметр провода, $d = 2 \text{ мм}$
Скорость изменения магнитной индукции, $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 1,09 \text{ Тл/с}$
Сила индукционного тока, $I = 10 \text{ А}$
Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,72 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$d = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Диаметр кольца, $D$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$, пронизывающего контур, в контуре возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$: $ \mathcal{E}_i = \left| -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| $

Магнитный поток $\Phi$ через кольцо определяется как $\Phi = B \cdot S \cdot \cos{\alpha}$, где $B$ – магнитная индукция, $S$ – площадь кольца, $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца. По условию, плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции, значит, $\alpha=0$ и $\cos{\alpha}=1$. Площадь кольца $S$ связана с его диаметром $D$ как $S = \frac{\pi D^2}{4}$.

Поскольку изменяется только магнитная индукция, ЭДС индукции равна: $ \mathcal{E}_i = S \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{\pi D^2}{4} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} $

Индукционный ток $I$ в кольце определяется законом Ома для замкнутой цепи: $ I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} $, где $R$ – сопротивление кольца.

Сопротивление медного провода, из которого сделано кольцо, вычисляется по формуле: $ R = \rho \frac{L}{s} $, где $L$ – длина провода (длина окружности кольца), а $s$ – площадь поперечного сечения провода. Длина провода: $L = \pi D$. Площадь поперечного сечения провода: $s = \frac{\pi d^2}{4}$. Тогда сопротивление кольца: $ R = \rho \frac{\pi D}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho D}{d^2} $

Теперь подставим выражения для $\mathcal{E}_i$ и $R$ в закон Ома: $ I = \frac{\frac{\pi D^2}{4} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}{\frac{4 \rho D}{d^2}} $

Упростим выражение: $ I = \frac{\pi D^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot d^2}{16 \rho D} = \frac{\pi D d^2}{16 \rho} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} $

Выразим из этой формулы искомый диаметр кольца $D$: $ D = \frac{16 \rho I}{\pi d^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}} $

Подставим числовые значения в систему СИ: $ D = \frac{16 \cdot 1,72 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 10 \text{ А}}{\pi \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \cdot 1,09 \text{ Тл/с}} = \frac{275,2 \cdot 10^{-8}}{3,1416 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot 1,09} = \frac{2,752 \cdot 10^{-6}}{13,697 \cdot 10^{-6}} \approx 0,2009 \text{ м} $

Округляя до двух значащих цифр, получаем $D \approx 0,20 \text{ м}$ или $20 \text{ см}$.

Ответ: диаметр кольца равен приблизительно 0,20 м.

3. Квадратная рамка со стороной $b = 5$ см изготовлена из медной проволоки сопротивлением $R = 0,1$ Ом. Рамку перемещают по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $\vec{v}$ вдоль оси $OX$ (см. рис.). За время движения рамка проходит между полюсами магнита и вновь оказывается в области, где магнитное поле отсутствует. Индукционные токи, возникающие в рамке, оказывают тормозящее действие, поэтому для поддержания постоянной скорости движения к ней прикладывают внешнюю силу $\vec{F}$, направленную вдоль оси $OX$. С какой скоростью движется рамка, если суммарная работа внешней силы за время движения $A = 2,5 \cdot 10^{-3}$ Дж? Ширина полюсов магнита $d = 20$ см. Считайте, что магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами, а его индукция $B = 1$ Тл.

Дано:

Найти:

Скорость рамки: $v$

Решение:

Рамка движется с постоянной скоростью $v$. Согласно условию, для поддержания этой скорости прикладывают внешнюю силу $\vec{F}$. Это необходимо, так как при движении рамки в магнитном поле возникает тормозящая сила Ампера $\vec{F}_A$. Поскольку скорость постоянна, ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона, внешняя сила уравновешивает силу Ампера: $F = F_A$.

Индукционный ток в рамке и, следовательно, сила Ампера возникают только тогда, когда изменяется магнитный поток через контур рамки. Это происходит на двух этапах:

1. Когда рамка входит в область магнитного поля.
2. Когда рамка выходит из области магнитного поля.

Когда рамка полностью находится внутри однородного магнитного поля, магнитный поток через нее постоянен, ЭДС индукции не возникает, ток не течет, и сила Ампера равна нулю. Внешняя сила в этот момент также не требуется, так как движение происходит по гладкой поверхности.

Таким образом, работа внешней силы совершается только на участках входа и выхода из поля. Длина каждого из этих участков равна стороне рамки $b$. Общий путь, на котором совершается работа, равен $L = b + b = 2b$.

Найдем силу Ампера. При входе (или выходе) в поле, в одной из сторон рамки (перпендикулярной вектору скорости) наводится ЭДС индукции:

$\mathcal{E} = B \cdot b \cdot v$

где $b$ — длина стороны рамки, $v$ — ее скорость.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила индукционного тока в рамке равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B \cdot b \cdot v}{R}$

На эту сторону рамки с током действует сила Ампера, направленная против движения:

$F_A = I \cdot B \cdot b = \left(\frac{B \cdot b \cdot v}{R}\right) \cdot B \cdot b = \frac{B^2 b^2 v}{R}$

Внешняя сила $F$ равна по модулю силе Ампера: $F = F_A$.

Суммарная работа $A$ внешней силы на общем пути $L=2b$ равна:

$A = F \cdot L = F_A \cdot (2b) = \frac{B^2 b^2 v}{R} \cdot 2b = \frac{2 B^2 b^3 v}{R}$

Из этого выражения найдем искомую скорость $v$:

$v = \frac{A \cdot R}{2 B^2 b^3}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \frac{2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} \cdot 0,1 \text{ Ом}}{2 \cdot (1 \text{ Тл})^2 \cdot (0,05 \text{ м})^3} = \frac{0,25 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 1 \cdot 0,000125} = \frac{0,25 \cdot 10^{-3}}{0,00025} = \frac{2,5 \cdot 10^{-4}}{2,5 \cdot 10^{-4}} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: $v = 1$ м/с.

4. Горизонтально расположенный проводник (см. рис.) длиной 1 м движется равноускоренно в вертикальном однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,5 Тл и направлена перпендикулярно проводнику и скорости его движения. При начальной скорости проводника, равной нулю, проводник переместился на 1 м. ЭДС индукции на концах проводника в конце движения равна 2 В. Чему равно ускорение проводника?

Дано:

Найти:

Решение:

ЭДС индукции, которая возникает в проводнике длиной $l$, движущемся со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$, определяется формулой:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\alpha)$

где $\alpha$ — это угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором скорости проводника $\vec{v}$. Согласно условию задачи и рисунку, вектор магнитной индукции перпендикулярен скорости движения проводника, следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$ и $\sin(90^\circ) = 1$.

Формула для ЭДС индукции принимает вид:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

В конце движения, когда проводник переместился на расстояние $s$, ЭДС индукции достигла значения $\mathcal{E} = 2$ В. Эта ЭДС соответствует конечной скорости проводника $v_f$. Из формулы выше мы можем выразить эту конечную скорость:

$v_f = \frac{\mathcal{E}}{B \cdot l}$

Проводник движется равноускоренно с начальной скоростью $v_0 = 0$. Для равноускоренного движения без начальной скорости связь между пройденным путем $s$, конечной скоростью $v_f$ и ускорением $a$ описывается кинематической формулой:

$s = \frac{v_f^2}{2a}$

Из этой формулы выразим искомое ускорение $a$:

$a = \frac{v_f^2}{2s}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для конечной скорости $v_f$, которое мы получили ранее:

$a = \frac{\left(\frac{\mathcal{E}}{B \cdot l}\right)^2}{2s} = \frac{\mathcal{E}^2}{2s \cdot B^2 \cdot l^2}$

Осталось подставить числовые значения из условия задачи и выполнить расчет:

$a = \frac{2^2}{2 \cdot 1 \cdot (0,5)^2 \cdot 1^2} = \frac{4}{2 \cdot 1 \cdot 0,25 \cdot 1} = \frac{4}{0,5} = 8$ м/с².

Ответ: ускорение проводника равно $8$ м/с².