Номер 3, страница 46 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Квадратная рамка со стороной $b = 5$ см изготовлена из медной проволоки сопротивлением $R = 0,1$ Ом. Рамку перемещают по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $\vec{v}$ вдоль оси $OX$ (см. рис.). За время движения рамка проходит между полюсами магнита и вновь оказывается в области, где магнитное поле отсутствует. Индукционные токи, возникающие в рамке, оказывают тормозящее действие, поэтому для поддержания постоянной скорости движения к ней прикладывают внешнюю силу $\vec{F}$, направленную вдоль оси $OX$. С какой скоростью движется рамка, если суммарная работа внешней силы за время движения $A = 2,5 \cdot 10^{-3}$ Дж? Ширина полюсов магнита $d = 20$ см. Считайте, что магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами, а его индукция $B = 1$ Тл.

Дано:

Найти:

Скорость рамки: $v$

Решение:

Рамка движется с постоянной скоростью $v$. Согласно условию, для поддержания этой скорости прикладывают внешнюю силу $\vec{F}$. Это необходимо, так как при движении рамки в магнитном поле возникает тормозящая сила Ампера $\vec{F}_A$. Поскольку скорость постоянна, ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона, внешняя сила уравновешивает силу Ампера: $F = F_A$.

Индукционный ток в рамке и, следовательно, сила Ампера возникают только тогда, когда изменяется магнитный поток через контур рамки. Это происходит на двух этапах:

1. Когда рамка входит в область магнитного поля.
2. Когда рамка выходит из области магнитного поля.

Когда рамка полностью находится внутри однородного магнитного поля, магнитный поток через нее постоянен, ЭДС индукции не возникает, ток не течет, и сила Ампера равна нулю. Внешняя сила в этот момент также не требуется, так как движение происходит по гладкой поверхности.

Таким образом, работа внешней силы совершается только на участках входа и выхода из поля. Длина каждого из этих участков равна стороне рамки $b$. Общий путь, на котором совершается работа, равен $L = b + b = 2b$.

Найдем силу Ампера. При входе (или выходе) в поле, в одной из сторон рамки (перпендикулярной вектору скорости) наводится ЭДС индукции:

$\mathcal{E} = B \cdot b \cdot v$

где $b$ — длина стороны рамки, $v$ — ее скорость.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила индукционного тока в рамке равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B \cdot b \cdot v}{R}$

На эту сторону рамки с током действует сила Ампера, направленная против движения:

$F_A = I \cdot B \cdot b = \left(\frac{B \cdot b \cdot v}{R}\right) \cdot B \cdot b = \frac{B^2 b^2 v}{R}$

Внешняя сила $F$ равна по модулю силе Ампера: $F = F_A$.

Суммарная работа $A$ внешней силы на общем пути $L=2b$ равна:

$A = F \cdot L = F_A \cdot (2b) = \frac{B^2 b^2 v}{R} \cdot 2b = \frac{2 B^2 b^3 v}{R}$

Из этого выражения найдем искомую скорость $v$:

$v = \frac{A \cdot R}{2 B^2 b^3}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \frac{2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} \cdot 0,1 \text{ Ом}}{2 \cdot (1 \text{ Тл})^2 \cdot (0,05 \text{ м})^3} = \frac{0,25 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 1 \cdot 0,000125} = \frac{0,25 \cdot 10^{-3}}{0,00025} = \frac{2,5 \cdot 10^{-4}}{2,5 \cdot 10^{-4}} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: $v = 1$ м/с.