Номер 2, страница 46 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Медное кольцо из провода диаметром 2 мм расположено в однородном магнитном поле, магнитная индукция которого меняется по модулю со скоростью 1,09 Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Чему равен диаметр кольца, если сила индукционного тока, возникающего в нём, равна 10 А? Удельное сопротивление меди $ \rho = 1,72 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м} $.

Дано:

Диаметр провода, $d = 2 \text{ мм}$
Скорость изменения магнитной индукции, $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 1,09 \text{ Тл/с}$
Сила индукционного тока, $I = 10 \text{ А}$
Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,72 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$d = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Диаметр кольца, $D$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$, пронизывающего контур, в контуре возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$: $ \mathcal{E}_i = \left| -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| $

Магнитный поток $\Phi$ через кольцо определяется как $\Phi = B \cdot S \cdot \cos{\alpha}$, где $B$ – магнитная индукция, $S$ – площадь кольца, $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца. По условию, плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции, значит, $\alpha=0$ и $\cos{\alpha}=1$. Площадь кольца $S$ связана с его диаметром $D$ как $S = \frac{\pi D^2}{4}$.

Поскольку изменяется только магнитная индукция, ЭДС индукции равна: $ \mathcal{E}_i = S \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{\pi D^2}{4} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} $

Индукционный ток $I$ в кольце определяется законом Ома для замкнутой цепи: $ I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} $, где $R$ – сопротивление кольца.

Сопротивление медного провода, из которого сделано кольцо, вычисляется по формуле: $ R = \rho \frac{L}{s} $, где $L$ – длина провода (длина окружности кольца), а $s$ – площадь поперечного сечения провода. Длина провода: $L = \pi D$. Площадь поперечного сечения провода: $s = \frac{\pi d^2}{4}$. Тогда сопротивление кольца: $ R = \rho \frac{\pi D}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho D}{d^2} $

Теперь подставим выражения для $\mathcal{E}_i$ и $R$ в закон Ома: $ I = \frac{\frac{\pi D^2}{4} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}{\frac{4 \rho D}{d^2}} $

Упростим выражение: $ I = \frac{\pi D^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot d^2}{16 \rho D} = \frac{\pi D d^2}{16 \rho} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} $

Выразим из этой формулы искомый диаметр кольца $D$: $ D = \frac{16 \rho I}{\pi d^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}} $

Подставим числовые значения в систему СИ: $ D = \frac{16 \cdot 1,72 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 10 \text{ А}}{\pi \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \cdot 1,09 \text{ Тл/с}} = \frac{275,2 \cdot 10^{-8}}{3,1416 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot 1,09} = \frac{2,752 \cdot 10^{-6}}{13,697 \cdot 10^{-6}} \approx 0,2009 \text{ м} $

Округляя до двух значащих цифр, получаем $D \approx 0,20 \text{ м}$ или $20 \text{ см}$.

Ответ: диаметр кольца равен приблизительно 0,20 м.