Номер 6, страница 46 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

6. В однородном магнитном поле, индукция которого $\vec{B}$, находится замкнутый проводник в виде окружности радиусом $r$, причём плоскость, которой принадлежит виток, перпендикулярна вектору $\vec{B}$. Какой заряд пройдёт по проводнику, если в магнитном поле проводник деформировать, превратив его в квадрат? Сопротивление проводника $R$.

Дано:

Индукция однородного магнитного поля: $B$
Начальная форма проводника: окружность
Радиус окружности: $r$
Конечная форма проводника: квадрат
Сопротивление проводника: $R$
Плоскость витка перпендикулярна вектору $\vec{B}$

Найти:

Заряд $q$, прошедший по проводнику.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$ через контур, в нем возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}_i$: $$ \mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt} $$ Эта ЭДС порождает в замкнутом проводнике индукционный ток $I$. По закону Ома для замкнутой цепи: $$ I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = -\frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dt} $$ Ток — это скорость протекания заряда ($I = dq/dt$). Следовательно, заряд $q$, прошедший через сечение проводника за время деформации, можно найти, проинтегрировав ток по времени: $$ dq = I dt = -\frac{1}{R}d\Phi $$ $$ q = \int dq = -\frac{1}{R} \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} d\Phi = -\frac{\Phi_2 - \Phi_1}{R} = \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{R} $$ Здесь $\Phi_1$ — начальный магнитный поток, а $\Phi_2$ — конечный.

Магнитный поток через плоский контур в однородном поле вычисляется по формуле $\Phi = B S \cos\alpha$, где $S$ — площадь контура, а $\alpha$ — угол между вектором индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура. По условию задачи, плоскость контура перпендикулярна вектору $\vec{B}$, значит, нормаль к плоскости параллельна $\vec{B}$, и угол $\alpha = 0^\circ$. Тогда $\cos\alpha = 1$, и формула для потока упрощается до $\Phi = BS$.

1. Найдем начальный магнитный поток $\Phi_1$. Изначально проводник имеет форму окружности радиусом $r$. Его площадь $S_1 = \pi r^2$. Следовательно, начальный магнитный поток равен: $$ \Phi_1 = B S_1 = B \pi r^2 $$

2. Найдем конечный магнитный поток $\Phi_2$. Проводник деформируют в квадрат. Длина проводника при этом сохраняется. Начальная длина проводника (длина окружности) равна $L = 2\pi r$. Эта же длина составляет периметр квадрата $P$. Если сторона квадрата равна $a$, то $P = 4a$. Приравниваем длину и периметр: $$ 2\pi r = 4a $$ Отсюда находим сторону квадрата: $$ a = \frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2} $$ Площадь квадрата $S_2$ равна: $$ S_2 = a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4} $$ Конечный магнитный поток: $$ \Phi_2 = B S_2 = B \frac{\pi^2 r^2}{4} $$

3. Рассчитаем прошедший заряд $q$. Подставим найденные значения потоков в формулу для заряда: $$ q = \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{R} = \frac{B \pi r^2 - B \frac{\pi^2 r^2}{4}}{R} $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ q = \frac{B \pi r^2}{R} \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) $$ Упростим выражение: $$ q = \frac{B \pi r^2 (4 - \pi)}{4R} $$

Ответ: $q = \frac{B \pi r^2 (4 - \pi)}{4R}$.