Страница 81 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Выведите уравнение (4.9), приравнивая разность потенциалов между пластинами конденсатора к ЭДС самоиндукции.

Решение

Рассмотрим идеальный колебательный контур, состоящий из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$. Пусть в некоторый момент времени $t$ заряд на одной из пластин конденсатора равен $q(t)$, а ток в контуре — $I(t)$.

Разность потенциалов (напряжение) между пластинами конденсатора выражается формулой:

$U_C = \frac{q}{C}$

При изменении тока в катушке в ней возникает ЭДС самоиндукции, которая определяется по формуле:

$\mathcal{E}_{si} = -L \frac{dI}{dt}$

Согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутого LC-контура, алгебраическая сумма напряжений на всех элементах равна нулю. Напряжение на конденсаторе $U_C$ и напряжение на катушке $U_L$ связаны соотношением $U_C + U_L = 0$. Напряжение на катушке $U_L$ равно $L\frac{dI}{dt}$, что соответствует $U_L = -\mathcal{E}_{si}$. Таким образом, правило Кирхгофа можно записать как $U_C - \mathcal{E}_{si} = 0$, или $U_C = \mathcal{E}_{si}$.

Следуя указанию в задаче, приравняем разность потенциалов на конденсаторе к ЭДС самоиндукции:

$\frac{q}{C} = -L \frac{dI}{dt}$

Это уравнение можно переписать в виде:

$L \frac{dI}{dt} + \frac{q}{C} = 0$

Теперь необходимо установить связь между силой тока $I$ и зарядом $q$. Сила тока по определению — это скорость изменения заряда. Если мы определим положительное направление тока как направление, в котором заряд $q$ на пластине конденсатора увеличивается (т.е. ток втекает в пластину), то $I = \frac{dq}{dt}$.

Тогда производная тока по времени будет равна второй производной заряда по времени:

$\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right) = \frac{d^2q}{dt^2}$

Подставим это выражение в уравнение для контура:

$L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$

Разделив обе части уравнения на индуктивность $L$, мы получим дифференциальное уравнение, описывающее свободные электромагнитные колебания в контуре, которое, по всей видимости, и является искомым уравнением (4.9):

$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0$

Это уравнение гармонических колебаний для заряда $q$ с собственной циклической частотой $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Ответ:

Исходные соотношения: разность потенциалов на конденсаторе $U_C = \frac{q}{C}$ и ЭДС самоиндукции в катушке $\mathcal{E}_{si} = -L \frac{dI}{dt}$. В соответствии с условием, приравниваем напряжение на конденсаторе к ЭДС самоиндукции ($U_C = \mathcal{E}_{si}$), что является следствием второго правила Кирхгофа, если учесть, что напряжение на катушке $U_L = -\mathcal{E}_{si}$. Получаем уравнение $\frac{q}{C} = -L \frac{dI}{dt}$, или $L \frac{dI}{dt} + \frac{q}{C} = 0$. Учитывая связь тока и заряда $I = \frac{dq}{dt}$ и, соответственно, $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$, подставляем в уравнение: $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$. Итоговое уравнение (4.9) после деления на $L$ имеет вид:

$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0$