Страница 76 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Что называют электромагнитными колебаниями?

1. Электромагнитными колебаниями называют периодические или близкие к периодическим изменения во времени взаимосвязанных величин, характеризующих электромагнитное поле, — напряженности электрического поля ($E$) и индукции магнитного поля ($B$). В электрических цепях такие колебания проявляются как периодические изменения электрического заряда ($q$) на обкладках конденсатора, силы тока ($I$) в цепи и напряжения ($U$) между различными точками цепи.

Простейшей системой, где могут происходить свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур. В простейшем случае он состоит из конденсатора емкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$. В таком контуре происходят взаимные превращения энергии электрического поля, сосредоточенной в конденсаторе, и энергии магнитного поля, сосредоточенной в катушке.

Рассмотрим процесс колебаний в идеальном LC-контуре (без омического сопротивления):
1. В начальный момент времени конденсатор полностью заряжен, и вся энергия системы сосредоточена в его электрическом поле.
2. Конденсатор начинает разряжаться через катушку. В катушке возникает нарастающий электрический ток. Энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля тока в катушке.
3. Когда конденсатор полностью разрядится, сила тока и энергия магнитного поля достигают максимального значения.
4. Из-за явления самоиндукции ток в катушке не может прекратиться мгновенно. Он продолжает течь, перезаряжая конденсатор (обкладки меняют знак заряда). Энергия магнитного поля катушки снова переходит в энергию электрического поля конденсатора.
5. Когда ток в катушке станет равен нулю, конденсатор будет полностью перезаряжен. После этого процесс повторяется в обратном направлении.

В идеальном контуре, где нет потерь энергии (активное сопротивление $R=0$), колебания являются гармоническими и незатухающими. Период этих колебаний определяется формулой Томсона:
$T = 2\pi\sqrt{LC}$

В реальных колебательных контурах всегда присутствует активное сопротивление, на котором происходит выделение теплоты, что ведет к постепенному уменьшению полной энергии контура и, как следствие, к затуханию колебаний.

Ответ: Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока, напряжения, а также напряженности электрического и индукции магнитного полей.

2. Чему равна энергия контура в произвольный момент времени?

2. Решение

Энергия колебательного контура в любой момент времени $t$ складывается из энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе ($W_C$), и энергии магнитного поля, запасенной в катушке индуктивности ($W_L$).

Полная энергия контура $W$ равна их сумме:

$W = W_C + W_L$

Энергия электрического поля конденсатора емкостью $C$, заряд на обкладках которого равен $q$, определяется формулой:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

Энергия магнитного поля катушки индуктивностью $L$, по которой протекает ток силой $I$, определяется формулой:

$W_L = \frac{LI^2}{2}$

Таким образом, полная энергия контура в произвольный момент времени $t$ выражается как:

$W(t) = \frac{q(t)^2}{2C} + \frac{L(I(t))^2}{2}$

Дальнейшее рассмотрение зависит от того, какой контур имеется в виду: идеальный или реальный.

1. Идеальный колебательный контур (без активного сопротивления, $R=0$)

В идеальном контуре потерь энергии нет. Происходит непрерывное превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, но их полная сумма остается неизменной. Для идеального контура выполняется закон сохранения энергии.

Докажем это. В идеальном контуре происходят гармонические колебания. Заряд на конденсаторе и сила тока в катушке изменяются по законам:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

$I(t) = q'(t) = -\omega q_m \sin(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний, $\phi_0$ — начальная фаза.

Подставим эти выражения в формулу для полной энергии:

$W(t) = \frac{(q_m \cos(\omega t + \phi_0))^2}{2C} + \frac{L(-\omega q_m \sin(\omega t + \phi_0))^2}{2} = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac{L\omega^2 q_m^2}{2}\sin^2(\omega t + \phi_0)$

Циклическая частота собственных колебаний в контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, откуда $\omega^2 = \frac{1}{LC}$.

Подставим значение $\omega^2$ в уравнение энергии:

$W(t) = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac{L(\frac{1}{LC}) q_m^2}{2}\sin^2(\omega t + \phi_0) = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac{q_m^2}{2C}\sin^2(\omega t + \phi_0)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$W(t) = \frac{q_m^2}{2C}(\cos^2(\omega t + \phi_0) + \sin^2(\omega t + \phi_0))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, получаем:

$W = \frac{q_m^2}{2C} = \text{const}$

Эта энергия равна максимальной энергии конденсатора (когда ток равен нулю) или, что то же самое, максимальной энергии катушки (когда заряд на конденсаторе равен нулю):

$W = W_{C,max} = \frac{q_m^2}{2C} = W_{L,max} = \frac{LI_m^2}{2}$

Таким образом, в идеальном колебательном контуре полная энергия постоянна во времени.

2. Реальный колебательный контур (с активным сопротивлением, $R>0$)

В любом реальном контуре провода катушки и соединительные провода обладают некоторым активным сопротивлением $R$. При протекании тока по этому сопротивлению часть энергии контура необратимо превращается во внутреннюю энергию (теплоту Джоуля-Ленца). В результате колебания в контуре являются затухающими, а полная электромагнитная энергия контура со временем уменьшается.

Скорость уменьшения энергии зависит от величины сопротивления $R$. Энергия убывает по экспоненциальному закону. Полная энергия в этом случае не является постоянной величиной, а функцией времени $W(t)$, которая монотонно убывает.

Ответ: Энергия контура в произвольный момент времени равна сумме энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля в катушке индуктивности: $W = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$. В идеальном колебательном контуре (без сопротивления) эта полная энергия сохраняется, то есть она постоянна во времени и равна начальной энергии, сообщенной контуру. В реальном контуре (с сопротивлением) полная энергия не сохраняется, а убывает со временем из-за потерь на нагревание проводников.

3. Почему при подключении конденсатора к катушке он разряжается постепенно?

3. При подключении заряженного конденсатора к катушке индуктивности он разряжается постепенно из-за явления электромагнитной самоиндукции.

Когда конденсатор начинает разряжаться, в цепи, состоящей из конденсатора и катушки, возникает электрический ток. Этот ток, протекая через катушку, создает в ней переменное магнитное поле и, соответственно, переменный магнитный поток.

Согласно закону электромагнитной индукции, изменение магнитного потока через катушку приводит к возникновению в ней электродвижущей силы (ЭДС), которую называют ЭДС самоиндукции. В соответствии с правилом Ленца, эта ЭДС всегда направлена так, чтобы противодействовать причине, ее вызвавшей. В данном случае причиной является нарастание тока разрядки конденсатора.

Следовательно, возникающая в катушке ЭДС самоиндукции ($ \mathcal{E}_{с} $) направлена против тока, замедляя его нарастание. Она препятствует мгновенному увеличению силы тока от нуля до максимального значения. Величина этой ЭДС определяется формулой:

$ \mathcal{E}_{с} = -L \frac{dI}{dt} $

где $ L $ — индуктивность катушки, а $ \frac{dI}{dt} $ — скорость изменения силы тока. Знак "минус" указывает на то, что ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока.

Поскольку ток в цепи нарастает постепенно, то и заряд с обкладок конденсатора стекает не мгновенно, а плавно. Катушка индуктивности проявляет своего рода "инертность", сопротивляясь любому изменению тока в цепи. Этот процесс приводит к электромагнитным колебаниям, в ходе которых энергия электрического поля конденсатора постепенно переходит в энергию магнитного поля катушки, и наоборот.

Ответ: Конденсатор разряжается постепенно, потому что при нарастании тока разрядки в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца, препятствует этому нарастанию. Катушка оказывает "инертное" противодействие изменению тока, что и делает процесс разрядки плавным, а не мгновенным.

1. На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре. Сколько раз энергия катушки достигает максимального значения в течение первых 6 мкс после начала отсчёта?

1) 1 раз

2) 2 раза

3) 3 раза

4) 4 раза

1. Дано:
График зависимости силы тока $i(t)$ в колебательном контуре.
Промежуток времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 6$ мкс.

Найти:
$N$ - количество раз, когда энергия катушки достигает максимального значения за первые 6 мкс.

Решение:

Энергия магнитного поля катушки индуктивности в колебательном контуре вычисляется по формуле: $W_L = \frac{LI^2}{2}$ где $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — мгновенное значение силы тока в ней.

Из формулы следует, что энергия катушки $W_L$ максимальна, когда квадрат силы тока $I^2$ максимален. Это условие выполняется, когда модуль силы тока $|I|$ достигает своего максимального (амплитудного) значения $I_{max}$.

Проанализируем предоставленный график зависимости силы тока $i$ от времени $t$. Из графика видно, что амплитудное значение силы тока составляет $I_{max} = 5$ мА. Следовательно, нам нужно посчитать, сколько раз на временном промежутке от 0 до 6 мкс (включительно) сила тока принимала значения $+5$ мА или $-5$ мА.

Наблюдая за графиком в указанном интервале времени, находим следующие моменты:

• В момент времени $t = 1$ мкс сила тока достигает своего первого максимума: $i = +5$ мА.
• В момент времени $t = 3$ мкс сила тока достигает своего первого минимума (максимума по модулю): $i = -5$ мА.
• В момент времени $t = 5$ мкс сила тока достигает своего второго максимума: $i = +5$ мА.

Следующий момент, когда ток достигнет максимального по модулю значения, будет при $t = 7$ мкс, что находится за пределами заданного интервала в 6 мкс.

Таким образом, за первые 6 мкс энергия катушки достигает своего максимального значения 3 раза.

Ответ: 3 раза.

2. На рисунке (см. рис. задания 1) приведён график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре. Какое утверждение о соотношении меняющихся в ходе колебаний величин верно для момента времени $t = 2 \text{ с}$?

1) энергия катушки минимальна, энергия конденсатора максимальна

2) энергия катушки максимальна, энергия конденсатора минимальна

3) энергия катушки равна энергии конденсатора

4) сумма энергий катушки и конденсатора минимальна

Решение

В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора ёмкости $C$, полная электромагнитная энергия сохраняется. Эта энергия складывается из энергии магнитного поля катушки и энергии электрического поля конденсатора:

$W = W_L + W_C = \text{const}$

Энергия катушки зависит от силы тока $I$ в ней, а энергия конденсатора — от заряда $q$ на его обкладках:

$W_L = \frac{LI^2}{2}$

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

В процессе электромагнитных колебаний происходит периодический переход энергии из катушки в конденсатор и обратно.

• Когда сила тока $I$ в катушке максимальна ($I = \pm I_{max}$), вся энергия сосредоточена в катушке ($W_L = W_{max}$), а заряд на конденсаторе равен нулю ($q=0$), следовательно, энергия конденсатора минимальна ($W_C = 0$).
• Когда заряд на конденсаторе максимален ($q = \pm q_{max}$), вся энергия сосредоточена в конденсаторе ($W_C = W_{max}$), а сила тока в катушке равна нулю ($I=0$), следовательно, энергия катушки минимальна ($W_L = 0$).

В задаче указано, что на рисунке приведен график зависимости силы тока от времени. Хотя сам график отсутствует, можно сделать разумное предположение о виде колебаний. Обычно в таких задачах рассматриваемый момент времени, в данном случае $t = 2$ с, соответствует характерной точке на графике: максимуму, минимуму или нулю. Предположим, что период колебаний $T=4$ с (это типичное значение для подобных задач, где рассматривается точка $t=2$). Тогда момент времени $t=2$ с соответствует половине периода колебаний ($t = T/2$).

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе. В этом случае в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе максимален ($q=q_{max}$), а сила тока равна нулю ($I=0$). Зависимость силы тока от времени описывается синусоидальным законом: $I(t) = I_{max}\sin(\omega t)$, где $\omega = 2\pi/T$.

В момент времени $t = T/2 = 2$ с сила тока будет равна:

$I(2) = I_{max}\sin(\omega \cdot \frac{T}{2}) = I_{max}\sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2}) = I_{max}\sin(\pi) = 0$

Таким образом, в момент времени $t=2$ с сила тока в контуре равна нулю.

Исходя из этого, проанализируем энергии:

Энергия катушки: $W_L = \frac{LI^2}{2} = \frac{L \cdot 0^2}{2} = 0$. Это минимально возможное значение энергии катушки.

Согласно закону сохранения энергии, если энергия катушки минимальна, то энергия конденсатора должна быть максимальной: $W_C = W_{max}$. Это соответствует моменту, когда конденсатор полностью перезарядился и его заряд максимален по модулю ($q=-q_{max}$).

Теперь сопоставим полученный вывод с предложенными утверждениями:

1) энергия катушки минимальна, энергия конденсатора максимальна
Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. В момент времени $t=2$ с сила тока равна нулю, поэтому энергия катушки минимальна, а вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе, то есть его энергия максимальна.
Ответ: Верно.

2) энергия катушки максимальна, энергия конденсатора минимальна
Это утверждение неверно. Оно было бы справедливо, если бы в момент $t=2$ с сила тока была максимальной, а не нулевой.
Ответ: Неверно.

3) энергия катушки равна энергии конденсатора
Это утверждение неверно. Равенство энергий происходит в промежуточные моменты времени, когда ни ток, ни заряд не достигают своих экстремальных значений.
Ответ: Неверно.

4) сумма энергий катушки и конденсатора минимальна
Это утверждение неверно. В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется, то есть является постоянной величиной, а не минимальной в какой-то определенный момент времени.
Ответ: Неверно.

Таким образом, единственное верное утверждение — первое.

3. Отношение максимальных значений силы тока и напряжения в колебательном контуре равно $10^2$. Отношение индуктивности катушки к электроёмкости конденсатора в этом контуре равно

1) $10^4$

2) $10^2$

3) $10^{-4}$

4) $10^{-2}$

Дано:

Отношение максимальной силы тока к максимальному напряжению в колебательном контуре: $\frac{I_{max}}{U_{max}} = 10^2$.

Найти:

Отношение индуктивности катушки к электроёмкости конденсатора: $\frac{L}{C}$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Максимальная энергия, запасенная в конденсаторе, равна максимальной энергии, запасенной в катушке индуктивности.

Максимальная энергия электрического поля конденсатора ($W_{C, max}$) вычисляется по формуле:

$W_{C, max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

где $C$ – электроёмкость конденсатора, а $U_{max}$ – максимальное напряжение на нём.

Максимальная энергия магнитного поля катушки ($W_{L, max}$) вычисляется по формуле:

$W_{L, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $I_{max}$ – максимальная сила тока в ней.

По закону сохранения энергии для колебательного контура:

$W_{C, max} = W_{L, max}$

Подставим выражения для энергий в это равенство:

$\frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$C U_{max}^2 = L I_{max}^2$

Наша цель — найти отношение $\frac{L}{C}$. Выразим его из полученного уравнения, разделив обе части на $C$ и на $I_{max}^2$:

$\frac{L}{C} = \frac{U_{max}^2}{I_{max}^2}$

Это выражение можно записать как квадрат отношения напряжений и силы тока:

$\frac{L}{C} = \left(\frac{U_{max}}{I_{max}}\right)^2$

Из условия задачи известно, что $\frac{I_{max}}{U_{max}} = 10^2$. Найдем обратное отношение:

$\frac{U_{max}}{I_{max}} = \frac{1}{\frac{I_{max}}{U_{max}}} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$

Теперь подставим это значение в нашу формулу для $\frac{L}{C}$:

$\frac{L}{C} = (10^{-2})^2 = 10^{-4}$

Ответ: $10^{-4}$.