Номер 2, страница 76 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. На рисунке (см. рис. задания 1) приведён график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре. Какое утверждение о соотношении меняющихся в ходе колебаний величин верно для момента времени $t = 2 \text{ с}$?

1) энергия катушки минимальна, энергия конденсатора максимальна

2) энергия катушки максимальна, энергия конденсатора минимальна

3) энергия катушки равна энергии конденсатора

4) сумма энергий катушки и конденсатора минимальна

Решение

В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора ёмкости $C$, полная электромагнитная энергия сохраняется. Эта энергия складывается из энергии магнитного поля катушки и энергии электрического поля конденсатора:

$W = W_L + W_C = \text{const}$

Энергия катушки зависит от силы тока $I$ в ней, а энергия конденсатора — от заряда $q$ на его обкладках:

$W_L = \frac{LI^2}{2}$

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

В процессе электромагнитных колебаний происходит периодический переход энергии из катушки в конденсатор и обратно.

• Когда сила тока $I$ в катушке максимальна ($I = \pm I_{max}$), вся энергия сосредоточена в катушке ($W_L = W_{max}$), а заряд на конденсаторе равен нулю ($q=0$), следовательно, энергия конденсатора минимальна ($W_C = 0$).
• Когда заряд на конденсаторе максимален ($q = \pm q_{max}$), вся энергия сосредоточена в конденсаторе ($W_C = W_{max}$), а сила тока в катушке равна нулю ($I=0$), следовательно, энергия катушки минимальна ($W_L = 0$).

В задаче указано, что на рисунке приведен график зависимости силы тока от времени. Хотя сам график отсутствует, можно сделать разумное предположение о виде колебаний. Обычно в таких задачах рассматриваемый момент времени, в данном случае $t = 2$ с, соответствует характерной точке на графике: максимуму, минимуму или нулю. Предположим, что период колебаний $T=4$ с (это типичное значение для подобных задач, где рассматривается точка $t=2$). Тогда момент времени $t=2$ с соответствует половине периода колебаний ($t = T/2$).

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе. В этом случае в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе максимален ($q=q_{max}$), а сила тока равна нулю ($I=0$). Зависимость силы тока от времени описывается синусоидальным законом: $I(t) = I_{max}\sin(\omega t)$, где $\omega = 2\pi/T$.

В момент времени $t = T/2 = 2$ с сила тока будет равна:

$I(2) = I_{max}\sin(\omega \cdot \frac{T}{2}) = I_{max}\sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2}) = I_{max}\sin(\pi) = 0$

Таким образом, в момент времени $t=2$ с сила тока в контуре равна нулю.

Исходя из этого, проанализируем энергии:

Энергия катушки: $W_L = \frac{LI^2}{2} = \frac{L \cdot 0^2}{2} = 0$. Это минимально возможное значение энергии катушки.

Согласно закону сохранения энергии, если энергия катушки минимальна, то энергия конденсатора должна быть максимальной: $W_C = W_{max}$. Это соответствует моменту, когда конденсатор полностью перезарядился и его заряд максимален по модулю ($q=-q_{max}$).

Теперь сопоставим полученный вывод с предложенными утверждениями:

1) энергия катушки минимальна, энергия конденсатора максимальна
Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. В момент времени $t=2$ с сила тока равна нулю, поэтому энергия катушки минимальна, а вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе, то есть его энергия максимальна.
Ответ: Верно.

2) энергия катушки максимальна, энергия конденсатора минимальна
Это утверждение неверно. Оно было бы справедливо, если бы в момент $t=2$ с сила тока была максимальной, а не нулевой.
Ответ: Неверно.

3) энергия катушки равна энергии конденсатора
Это утверждение неверно. Равенство энергий происходит в промежуточные моменты времени, когда ни ток, ни заряд не достигают своих экстремальных значений.
Ответ: Неверно.

4) сумма энергий катушки и конденсатора минимальна
Это утверждение неверно. В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется, то есть является постоянной величиной, а не минимальной в какой-то определенный момент времени.
Ответ: Неверно.

Таким образом, единственное верное утверждение — первое.