Номер 1, страница 79 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. В чём проявляется аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника?

Аналогия между электромагнитными колебаниями в идеальном колебательном контуре (состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, или LC-контуре) и механическими колебаниями пружинного маятника является глубокой и проявляется в нескольких ключевых аспектах.

1. Преобразование энергии.
В обеих системах происходят периодические процессы, в ходе которых энергия системы преобразуется из одной формы в другую и обратно. В пружинном маятнике потенциальная энергия упруго деформированной пружины ($E_p = \frac{kx^2}{2}$) непрерывно превращается в кинетическую энергию движущегося груза ($E_k = \frac{mv^2}{2}$). В крайних точках траектории, где смещение $x$ максимально, вся энергия системы является потенциальной. В положении равновесия, где скорость $v$ максимальна, вся энергия — кинетическая. Аналогично, в колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля заряженного конденсатора ($W_E = \frac{q^2}{2C}$) в энергию магнитного поля катушки индуктивности, по которой течет ток ($W_M = \frac{LI^2}{2}$). В момент, когда конденсатор полностью заряжен (заряд $q$ максимален), вся энергия сосредоточена в электрическом поле. Когда же конденсатор полностью разряжается, сила тока $I$ в катушке достигает максимума, и вся энергия сосредоточена в магнитном поле.

2. Математическое описание.
Уравнения, описывающие эти два процесса, имеют одинаковую математическую форму. Оба процесса в идеальном случае (без учета трения для маятника и активного сопротивления для контура) описываются одним и тем же типом дифференциального уравнения — уравнением гармонических колебаний.
Для пружинного маятника: $x'' + \frac{k}{m}x = 0$, где $x$ — смещение груза от положения равновесия, $m$ — его масса, $k$ — жесткость пружины.
Для колебательного контура: $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$, где $q$ — заряд на обкладках конденсатора, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.
Такое математическое сходство позволяет говорить о формальной аналогии между физическими величинами двух систем.

3. Аналогия физических величин.
Из-за сходства уравнений и энергетических превращений можно установить прямое соответствие между физическими величинами, описывающими эти два вида колебаний:
- Смещение $x$ в механической системе аналогично электрическому заряду $q$ в контуре.
- Скорость $v = \frac{dx}{dt}$ аналогична силе тока $I = \frac{dq}{dt}$.
- Масса $m$, являющаяся мерой инертности, аналогична индуктивности $L$, которая характеризует электромагнитную инертность.
- Жесткость пружины $k$ аналогична величине, обратной ёмкости, $1/C$.
- Потенциальная энергия пружины $E_p = \frac{kx^2}{2}$ аналогична энергии электрического поля конденсатора $W_E = \frac{q^2}{2C}$.
- Кинетическая энергия груза $E_k = \frac{mv^2}{2}$ аналогична энергии магнитного поля катушки $W_M = \frac{LI^2}{2}$.
- Коэффициент механического сопротивления (трение), вызывающий затухание колебаний, аналогичен активному электрическому сопротивлению $R$.
Из этой аналогии также следует сходство формул для периода колебаний: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ для маятника и $T = 2\pi\sqrt{LC}$ для контура (формула Томсона).

Ответ: Аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника проявляется в том, что оба процесса описываются одинаковыми по форме математическими уравнениями, для них характерны аналогичные периодические превращения энергии между двумя формами (потенциальная ↔ кинетическая для маятника; энергия электрического поля ↔ энергия магнитного поля для контура), и существует прямое соответствие между физическими величинами, характеризующими эти системы (масса $m$ аналогична индуктивности $L$; величина, обратная жесткости, $1/k$, аналогична емкости $C$; смещение $x$ — заряду $q$; скорость $v$ — силе тока $I$).