Страница 79 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. В чём проявляется аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника?

Аналогия между электромагнитными колебаниями в идеальном колебательном контуре (состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, или LC-контуре) и механическими колебаниями пружинного маятника является глубокой и проявляется в нескольких ключевых аспектах.

1. Преобразование энергии.
В обеих системах происходят периодические процессы, в ходе которых энергия системы преобразуется из одной формы в другую и обратно. В пружинном маятнике потенциальная энергия упруго деформированной пружины ($E_p = \frac{kx^2}{2}$) непрерывно превращается в кинетическую энергию движущегося груза ($E_k = \frac{mv^2}{2}$). В крайних точках траектории, где смещение $x$ максимально, вся энергия системы является потенциальной. В положении равновесия, где скорость $v$ максимальна, вся энергия — кинетическая. Аналогично, в колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля заряженного конденсатора ($W_E = \frac{q^2}{2C}$) в энергию магнитного поля катушки индуктивности, по которой течет ток ($W_M = \frac{LI^2}{2}$). В момент, когда конденсатор полностью заряжен (заряд $q$ максимален), вся энергия сосредоточена в электрическом поле. Когда же конденсатор полностью разряжается, сила тока $I$ в катушке достигает максимума, и вся энергия сосредоточена в магнитном поле.

2. Математическое описание.
Уравнения, описывающие эти два процесса, имеют одинаковую математическую форму. Оба процесса в идеальном случае (без учета трения для маятника и активного сопротивления для контура) описываются одним и тем же типом дифференциального уравнения — уравнением гармонических колебаний.
Для пружинного маятника: $x'' + \frac{k}{m}x = 0$, где $x$ — смещение груза от положения равновесия, $m$ — его масса, $k$ — жесткость пружины.
Для колебательного контура: $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$, где $q$ — заряд на обкладках конденсатора, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.
Такое математическое сходство позволяет говорить о формальной аналогии между физическими величинами двух систем.

3. Аналогия физических величин.
Из-за сходства уравнений и энергетических превращений можно установить прямое соответствие между физическими величинами, описывающими эти два вида колебаний:
- Смещение $x$ в механической системе аналогично электрическому заряду $q$ в контуре.
- Скорость $v = \frac{dx}{dt}$ аналогична силе тока $I = \frac{dq}{dt}$.
- Масса $m$, являющаяся мерой инертности, аналогична индуктивности $L$, которая характеризует электромагнитную инертность.
- Жесткость пружины $k$ аналогична величине, обратной ёмкости, $1/C$.
- Потенциальная энергия пружины $E_p = \frac{kx^2}{2}$ аналогична энергии электрического поля конденсатора $W_E = \frac{q^2}{2C}$.
- Кинетическая энергия груза $E_k = \frac{mv^2}{2}$ аналогична энергии магнитного поля катушки $W_M = \frac{LI^2}{2}$.
- Коэффициент механического сопротивления (трение), вызывающий затухание колебаний, аналогичен активному электрическому сопротивлению $R$.
Из этой аналогии также следует сходство формул для периода колебаний: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ для маятника и $T = 2\pi\sqrt{LC}$ для контура (формула Томсона).

Ответ: Аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника проявляется в том, что оба процесса описываются одинаковыми по форме математическими уравнениями, для них характерны аналогичные периодические превращения энергии между двумя формами (потенциальная ↔ кинетическая для маятника; энергия электрического поля ↔ энергия магнитного поля для контура), и существует прямое соответствие между физическими величинами, характеризующими эти системы (масса $m$ аналогична индуктивности $L$; величина, обратная жесткости, $1/k$, аналогична емкости $C$; смещение $x$ — заряду $q$; скорость $v$ — силе тока $I$).

2. За счёт какого явления электрический ток в колебательном контуре не исчезает сразу, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, а тело не останавливается, проходя положение равновесия?

Данный вопрос описывает два аналогичных процесса в колебательных системах — электромагнитной и механической. В обоих случаях продолжение процесса после прохождения точки с нулевой потенциальной энергией объясняется инертностью системы.

Электрический ток в колебательном контуре

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходит периодический переход энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Когда конденсатор полностью разряжен, напряжение на нём равно нулю. В этот момент вся энергия системы сосредоточена в магнитном поле катушки, а сила тока в цепи достигает своего максимального значения. Ток не прекращается мгновенно из-за явления электромагнитной самоиндукции. Согласно закону Фарадея, в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует уменьшению тока. Эта ЭДС ($ \mathcal{E}_{L} = -L\frac{dI}{dt} $) поддерживает ток в контуре, который начинает заряжать конденсатор в противоположной полярности. Таким образом, индуктивность ($L$) в электрической цепи играет роль, аналогичную массе (мере инерции) в механической системе.

Движение тела в механической колебательной системе

В механической системе, например, у маятника или груза на пружине, при прохождении положения равновесия потенциальная энергия тела минимальна (условно равна нулю), а его скорость и, следовательно, кинетическая энергия ($ W_k = \frac{mv^2}{2} $) достигают максимального значения. Тело не останавливается в этой точке благодаря инерции. По инерции тело стремится сохранить свою скорость, поэтому оно продолжает движение, проходя положение равновесия и преобразуя свою кинетическую энергию обратно в потенциальную. Инертность тела определяется его массой ($m$).

Ответ: Электрический ток в колебательном контуре не исчезает сразу, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, из-за явления самоиндукции. Тело не останавливается, проходя положение равновесия, из-за инерции.

3. Какие превращения энергии происходят при механических и электромагнитных колебаниях, если затухание мало?

В колебательных системах, где затухание мало, полная энергия системы остается почти постоянной в течение нескольких периодов колебаний. Основной процесс, происходящий в таких системах, — это периодическое преобразование одного вида энергии в другой.

При механических колебаниях:

Рассмотрим механические колебания на примере пружинного маятника (груз на пружине). В этой системе происходит периодическое взаимное превращение кинетической и потенциальной энергии.

• В крайних точках траектории, когда груз на мгновение останавливается, его смещение от положения равновесия максимально, а скорость равна нулю. В эти моменты вся механическая энергия системы представляет собой потенциальную энергию упруго деформированной пружины: $E = E_{p_{max}} = \frac{kx_{max}^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины, а $x_{max}$ — амплитуда колебаний. Кинетическая энергия $E_k$ в этих точках равна нулю.
• При движении груза к положению равновесия его скорость возрастает, а деформация пружины уменьшается. Потенциальная энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию груза.
• В момент прохождения положения равновесия ($x=0$) скорость груза максимальна ($v=v_{max}$). В этот момент вся энергия системы является кинетической: $E = E_{k_{max}} = \frac{mv_{max}^2}{2}$, где $m$ — масса груза. Потенциальная энергия равна нулю.
• Затем процесс повторяется в обратном порядке: кинетическая энергия снова преобразуется в потенциальную до достижения другого крайнего положения.

Таким образом, происходит непрерывный переход $E_p \leftrightarrow E_k$. Если затухание мало (силы трения незначительны), то полная механическая энергия $E = E_p + E_k$ сохраняется почти неизменной, хотя небольшая ее часть все же рассеивается в виде тепла, вызывая медленное уменьшение амплитуды колебаний.

Ответ:
При механических колебаниях происходит периодическое превращение потенциальной энергии (например, упругой деформации пружины или гравитационной энергии маятника) в кинетическую энерги

4. Какая величина, характеризующая электромагнитные колебания, аналогична ускорению тела при механических колебаниях?

Решение

Для того чтобы найти аналог ускорения тела при механических колебаниях, необходимо сопоставить физические величины и уравнения, описывающие механические и электромагнитные колебания.

При механических колебаниях (например, груза на пружине) состояние системы описывается смещением $x$, скоростью $v$ и ускорением $a$. Эти величины связаны через производные по времени: $v = \frac{dx}{dt}$ и $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$. Уравнение гармонических механических колебаний, основанное на втором законе Ньютона ($F=ma$) и законе Гука ($F_{упр} = -kx$), имеет вид:
$ma = -kx$

или, выражая через смещение $x$:
$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$.

При электромагнитных колебаниях в идеальном LC-контуре (состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора $C$) состояние системы описывается зарядом на конденсаторе $q$, силой тока в контуре $I$ и скоростью изменения силы тока $\frac{dI}{dt}$. Эти величины также связаны через производные по времени: $I = \frac{dq}{dt}$ и $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$. Уравнение электромагнитных колебаний, основанное на втором правиле Кирхгофа ($U_L + U_C = 0$), где напряжение на катушке $U_L = L \frac{dI}{dt}$ и напряжение на конденсаторе $U_C = \frac{q}{C}$, имеет вид:
$L \frac{dI}{dt} + \frac{q}{C} = 0$
или, выражая через заряд $q$:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$.

Теперь сравним эти два дифференциальных уравнения и соответствующие им физические величины:
Механические колебания: $m \cdot a + k \cdot x = 0$
Электромагнитные колебания: $L \cdot \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \cdot q = 0$

Из этого сравнения видна прямая аналогия между величинами:
Смещение $x$ ↔ Заряд $q$
Скорость $v = \frac{dx}{dt}$ ↔ Сила тока $I = \frac{dq}{dt}$
Ускорение $a = \frac{d^2x}{dt^2}$ ↔ Скорость изменения силы тока $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$
Масса $m$ (мера инертности) ↔ Индуктивность $L$ (мера электромагнитной инертности)
Жёсткость $k$ ↔ Величина, обратная ёмкости $\frac{1}{C}$

Таким образом, величиной, характеризующей электромагнитные колебания и аналогичной ускорению тела при механических колебаниях, является скорость изменения силы тока.

Ответ: скорость изменения силы тока ($\frac{dI}{dt}$).

5. Можно ли говорить о том, что электромагнитные колебания происходят благодаря ЭДС самоиндукции подобно тому, как мы говорим, что механические колебания происходят благодаря действию силы упругости?

Да, такое утверждение в значительной степени справедливо. Между электромагнитными колебаниями в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) и механическими колебаниями, например, пружинного маятника, существует глубокая физическая и математическая аналогия. ЭДС самоиндукции действительно играет роль, подобную силе упругости, обеспечивая возможность самого процесса колебаний.

Механические колебания (пружинный маятник)
В системе, состоящей из груза массой $m$ и пружины жесткостью $k$, колебания происходят следующим образом. Когда мы отводим груз из положения равновесия, растягивая (или сжимая) пружину на расстояние $x$, в пружине возникает сила упругости $F_{упр} = -kx$. Эта сила является возвращающей: она всегда направлена к положению равновесия и стремится вернуть систему в это состояние. Под действием этой силы груз начинает двигаться, и потенциальная энергия деформированной пружины ($E_p = \frac{kx^2}{2}$) переходит в кинетическую энергию груза ($E_k = \frac{mv^2}{2}$). Благодаря инертности, груз проскакивает положение равновесия, и сила упругости, возникающая при сжатии (растяжении) пружины с другой стороны, начинает его тормозить, превращая кинетическую энергию обратно в потенциальную. Таким образом, сила упругости является ключевым фактором, обеспечивающим непрерывный переход энергии из одного вида в другой и обратно, что и представляет собой колебательный процесс.

Электромагнитные колебания (LC-контур)
В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L$ и конденсатора емкостью $C$, происходят аналогичные процессы. Если зарядить конденсатор до заряда $q$, он накопит энергию электрического поля ($W_E = \frac{q^2}{2C}$). При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться, создавая в цепи ток $i$. Этот ток, проходя через катушку, создает в ней переменное магнитное поле. Согласно явлению самоиндукции, в катушке возникает ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{си} = -L \frac{di}{dt}$.

Роль ЭДС самоиндукции здесь двояка и полностью аналогична роли силы упругости и инертности в механике:

1. Когда конденсатор разряжается и ток нарастает, ЭДС самоиндукции препятствует этому нарастанию (подобно инертности массы).
2. Когда конденсатор полностью разрядится ($q=0$), ток в цепи будет максимальным. В этот момент энергия полностью перешла в энергию магнитного поля катушки ($W_M = \frac{Li^2}{2}$). Ток начинает убывать, и именно ЭДС самоиндукции теперь поддерживает этот ток, не давая ему исчезнуть мгновенно. Она действует как источник ЭДС, который перезаряжает конденсатор, но уже с противоположной полярностью.

Таким образом, ЭДС самоиндукции обеспечивает "возвращающий" механизм для энергии: она заставляет энергию магнитного поля катушки снова переходить в энергию электрического поля конденсатора. Без явления самоиндукции конденсатор бы просто разрядился (вероятно, с выделением тепла, если бы в цепи было сопротивление), и колебаний бы не возникло.

Вывод и аналогия
Сравнивая уравнения, описывающие эти два процесса, аналогия становится очевидной:

• Уравнение движения пружинного маятника: $m\ddot{x} + kx = 0$
• Уравнение колебаний в LC-контуре: $L\ddot{q} + \frac{1}{C}q = 0$

Таблица аналогий:

Поэтому можно утверждать, что ЭДС самоиндукции является физическим явлением, которое делает возможным колебательный процесс в контуре, выполняя функцию, аналогичную силе упругости в механической системе.

Ответ: Да, можно. ЭДС самоиндукции в колебательном контуре играет роль, аналогичную роли силы упругости в механических колебательных системах. Подобно тому, как сила упругости обеспечивает преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, ЭДС самоиндукции обеспечивает преобразование энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора и обратно. Именно это явление поддерживает незатухающие (в идеальном случае) колебания, являясь их фундаментальной причиной, так же как сила упругости является причиной механических колебаний.