Страница 85 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. После того как конденсатору колебательного контура был сообщён заряд $q = 10^{-5} \text{ Кл}$, в контуре возникли затухающие колебания. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания в нём полностью затухнут? Ёмкость конденсатора $C = 0,01 \text{ мкФ}$.

1. Дано:

Найти:

Решение:

В начальный момент времени, после того как конденсатору сообщили заряд $q$, вся энергия колебательного контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Эта начальная электромагнитная энергия $W$ вычисляется по формуле энергии заряженного конденсатора:

$W = \frac{q^2}{2C}$

Условие о возникновении затухающих колебаний указывает на то, что в контуре присутствует активное сопротивление $R$. При прохождении тока через это сопротивление электромагнитная энергия контура постепенно рассеивается, превращаясь в тепловую энергию (согласно закону Джоуля-Ленца).

Процесс будет продолжаться до тех пор, пока колебания полностью не затухнут. В этот момент вся начальная энергия, запасенная в контуре, перейдет в теплоту. Согласно закону сохранения энергии, количество выделившейся теплоты $Q$ будет в точности равно начальной энергии электромагнитного поля контура $W$.

$Q = W$

Следовательно, для нахождения искомого количества теплоты необходимо рассчитать начальную энергию конденсатора:

$Q = \frac{q^2}{2C}$

Подставим числовые значения величин в систему СИ в полученную формулу:

$Q = \frac{(10^{-5} \text{ Кл})^2}{2 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = \frac{10^{-10} \text{ Кл}^2}{2 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ Дж} = 0,005 \text{ Дж}$.

Ответ: количество теплоты, которое выделится в контуре к моменту полного затухания колебаний, составляет 0,005 Дж.

2. В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L = 2 \text{ Гн}$ и конденсатора ёмкостью $C = 4,5 \text{ мкФ}$, максимальное значение заряда на обкладках конденсатора $q_0 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$. Запишите законы изменения напряжения на конденсаторе и силы тока в контуре от времени.

Дано:

Найти:

Решение:

Колебания в идеальном LC-контуре являются гармоническими. Поскольку в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе максимален и равен $q_0$, то закон изменения заряда со временем можно записать в виде:

$q(t) = q_0 \cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний.

Найдем циклическую частоту по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим значения из условия:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{2 \text{ Гн} \cdot 4,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 10^{-6} \text{ с}^2}} = \frac{1}{3 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{1000}{3}$ рад/с.

Закон изменения напряжения на конденсаторе

Напряжение на обкладках конденсатора $U(t)$ прямо пропорционально заряду $q(t)$:

$U(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{q_0}{C} \cos(\omega t)$

Амплитудное значение напряжения $U_0$ равно:

$U_0 = \frac{q_0}{C} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{4,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{2}{4,5} \text{ В} = \frac{20}{45} \text{ В} = \frac{4}{9}$ В.

Подставив значения $U_0$ и $\omega$, получаем закон изменения напряжения:

$U(t) = \frac{4}{9} \cos(\frac{1000}{3} t)$

Ответ: закон изменения напряжения на конденсаторе: $U(t) = \frac{4}{9} \cos(\frac{1000}{3} t)$ (В).

Закон изменения силы тока в контуре

Сила тока $I(t)$ в контуре — это первая производная заряда по времени:

$I(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_0 \cos(\omega t)) = -q_0 \omega \sin(\omega t)$

Амплитудное значение силы тока $I_0$ равно:

$I_0 = q_0 \omega = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot \frac{1000}{3} \text{ рад/с} = \frac{2000}{3} \cdot 10^{-6} \text{ А} = \frac{2}{3} \cdot 10^{-3}$ А.

Подставив значения $I_0$ и $\omega$, получаем закон изменения силы тока:

$I(t) = -\frac{2}{3} \cdot 10^{-3} \sin(\frac{1000}{3} t)$

(Это уравнение показывает, что колебания тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$, так как $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$)

Ответ: закон изменения силы тока в контуре: $I(t) = -\frac{2}{3} \cdot 10^{-3} \sin(\frac{1000}{3} t)$ (А).

3. В колебательном контуре происходят колебания с амплитудой напряжения $U_1$. В момент времени, когда заряд на пластинах конденсатора максимален, их сдвигают, уменьшая расстояние между ними в $N = 2$ раза, при этом заряд на пластинах не успевает измениться. Определите амплитуду напряжения. Во сколько раз изменится частота колебаний после сдвига пластин?

Дано:

Амплитуда напряжения до сдвига: $U_1$
Коэффициент уменьшения расстояния между пластинами: $N = 2$

Найти:

Амплитуду напряжения после сдвига $U_2$
Отношение частот $\frac{\nu_2}{\nu_1}$

Решение:

Определите амплитуду напряжения.

В момент, когда заряд на пластинах конденсатора максимален, вся энергия колебательного контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора, а ток в катушке равен нулю. Максимальный заряд на конденсаторе до сдвига пластин связан с амплитудой напряжения $U_1$ и начальной емкостью $C_1$ соотношением: $q_{max,1} = C_1 U_1$

Емкость плоского конденсатора определяется формулой $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$, где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, а $d$ — расстояние между ними.

Изначально емкость была $C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$. После того как расстояние между пластинами уменьшили в $N$ раз, новое расстояние стало $d_2 = \frac{d_1}{N}$. Новая емкость $C_2$ будет равна: $C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1/N} = N \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1} = N C_1$

Согласно условию задачи, сдвиг пластин происходит настолько быстро, что заряд на них не успевает измениться. Поскольку в этот момент заряд был максимальным, он и будет определять амплитуду новых колебаний. Таким образом, новый максимальный заряд $q_{max,2}$ равен начальному максимальному заряду $q_{max,1}$: $q_{max,2} = q_{max,1}$

Новая амплитуда напряжения $U_2$ связана с новым максимальным зарядом $q_{max,2}$ и новой емкостью $C_2$: $q_{max,2} = C_2 U_2$

Приравнивая выражения для максимальных зарядов, получаем: $C_1 U_1 = C_2 U_2$

Подставим в это равенство выражение $C_2 = N C_1$: $C_1 U_1 = (N C_1) U_2$

Сократив $C_1$, выразим новую амплитуду напряжения $U_2$: $U_2 = \frac{U_1}{N}$

Подставив значение $N=2$, находим: $U_2 = \frac{U_1}{2}$

Ответ: Амплитуда напряжения уменьшится в 2 раза и станет равной $\frac{U_1}{2}$.

Во сколько раз изменится частота колебаний после сдвига пластин?

Частота свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Начальная частота колебаний была: $\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

После изменения емкости конденсатора новая частота стала: $\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдем отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_1}}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \sqrt{\frac{LC_1}{LC_2}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Ранее мы установили, что $C_2 = N C_1$. Подставим это соотношение в формулу для отношения частот: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{N C_1}} = \sqrt{\frac{1}{N}} = \frac{1}{\sqrt{N}}$

Подставив значение $N=2$: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Ответ: Частота колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.

4. Определите отношение энергий магнитного и электрического полей $W_м/W_э$ в колебательном контуре в момент времени $T/6$, где $T$ — период колебаний контура. В начальный момент времени сила тока $I = 0$.

Дано:

$t = T/6$
$I(t=0) = 0$

Найти:

$\frac{W_м}{W_э} - ?$

Решение

В идеальном колебательном контуре происходят гармонические колебания заряда $q$ на обкладках конденсатора и силы тока $I$ в катушке индуктивности. Начальное условие, что сила тока в момент времени $t=0$ равна нулю ($I(0)=0$), означает, что в этот момент энергия магнитного поля катушки равна нулю, а вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Это соответствует максимальному значению заряда на конденсаторе.

Таким образом, зависимость заряда от времени описывается законом косинуса, а зависимость силы тока (которая является производной заряда по времени) — законом синуса:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

$I(t) = \frac{dq}{dt} = -q_{max} \omega \sin(\omega t) = -I_{max} \sin(\omega t)$

где $q_{max}$ — амплитуда заряда, $I_{max}$ — амплитуда силы тока, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Энергия электрического поля конденсатора ($W_э$) и энергия магнитного поля катушки ($W_м$) в момент времени $t$ определяются по формулам:

$W_э(t) = \frac{q(t)^2}{2C} = \frac{q_{max}^2}{2C} \cos^2(\omega t)$

$W_м(t) = \frac{L I(t)^2}{2} = \frac{L (-I_{max} \sin(\omega t))^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2} \sin^2(\omega t)$

Согласно закону сохранения энергии в колебательном контуре, максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля. Эта величина является полной энергией контура $W_{полн}$:

$W_{полн} = W_{э, max} = \frac{q_{max}^2}{2C} = W_{м, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Используя это, можно выразить мгновенные значения энергий через полную энергию:

$W_э(t) = W_{полн} \cos^2(\omega t)$

$W_м(t) = W_{полн} \sin^2(\omega t)$

Теперь найдем отношение этих энергий:

$\frac{W_м(t)}{W_э(t)} = \frac{W_{полн} \sin^2(\omega t)}{W_{полн} \cos^2(\omega t)} = \tan^2(\omega t)$

Нам нужно найти это отношение в момент времени $t = T/6$. Вычислим фазу колебаний $\omega t$ для этого момента. Учитывая, что циклическая частота $\omega$ связана с периодом $T$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Подставим значение фазы в формулу для отношения энергий:

$\frac{W_м}{W_э} = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Поскольку $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем:

$\frac{W_м}{W_э} = (\sqrt{3})^2 = 3$

Ответ: 3.

1. Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью 0,1 Гн и конденсатор ёмкостью 0,9 мкФ, равна 1,8 мкДж. В момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, подключают на короткое время источник напряжением 5 В. Определите изменение амплитудного значения силы тока, идущего через катушку.

Дано:

$L = 0,1$ Гн

$C = 0,9$ мкФ

$W = 1,8$ мкДж

$U_{ист} = 5$ В

Перевод в систему СИ:

$C = 0,9 \cdot 10^{-6}$ Ф

$W = 1,8 \cdot 10^{-6}$ Дж

Найти:

$\Delta I_m$

Решение:

Полная энергия электромагнитного поля в идеальном колебательном контуре $W$ сохраняется. Она периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальные значения этих энергий равны полной энергии контура:

$W = \frac{L I_m^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$

где $I_m$ — амплитудное значение силы тока, а $U_m$ — амплитудное значение напряжения.

1. Найдем начальное амплитудное значение силы тока $I_{m1}$ в контуре до подключения источника. Используя формулу для максимальной энергии магнитного поля катушки, получаем:

$I_{m1} = \sqrt{\frac{2W}{L}}$

Подставим известные значения:

$I_{m1} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{0,1 \text{ Гн}}} = \sqrt{3,6 \cdot 10^{-5} \text{ А}^2} = \sqrt{36 \cdot 10^{-6} \text{ А}^2} = 6 \cdot 10^{-3}$ А.

2. По условию, источник подключается в момент, когда напряжение на конденсаторе максимально. В этот момент вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора, а сила тока в катушке равна нулю. Подключение источника напряжения параллельно конденсатору приведет к тому, что напряжение на конденсаторе станет равным напряжению источника. Таким образом, новое амплитудное значение напряжения в контуре будет равно напряжению источника:

$U_{m2} = U_{ист} = 5$ В.

3. После отключения источника в контуре возобновятся колебания, но с новой, большей полной энергией, которая определяется новым амплитудным напряжением $U_{m2}$. Новое амплитудное значение силы тока $I_{m2}$ можно найти из закона сохранения энергии для нового цикла колебаний, приравнивая максимальную энергию электрического поля к максимальной энергии магнитного поля:

$\frac{L I_{m2}^2}{2} = \frac{C U_{m2}^2}{2}$

Из этого соотношения выразим и рассчитаем $I_{m2}$:

$I_{m2} = U_{m2} \sqrt{\frac{C}{L}} = 5 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{0,9 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{0,1 \text{ Гн}}} = 5 \cdot \sqrt{9 \cdot 10^{-6}} \text{ А} = 5 \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 15 \cdot 10^{-3}$ А.

4. Изменение амплитудного значения силы тока $\Delta I_m$ равно разности нового и начального амплитудных значений:

$\Delta I_m = I_{m2} - I_{m1} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ А} - 6 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 9 \cdot 10^{-3}$ А.

Ответ: изменение амплитудного значения силы тока составляет $9 \cdot 10^{-3}$ А (или 9 мА).

2. Конденсатор контура с периодом колебаний $10^{-5}$ с заполнили диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 1,6$. Индуктивность катушки увеличили в 1000 раз, вставив железный сердечник. Чему стал равен период колебаний энергии магнитного поля в контуре?

Дано:

Найти:

Решение:

Период электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Для начального состояния контура с индуктивностью $L_1$ и ёмкостью $C_1$ период равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{L_1C_1} = 10^{-5}$ с.

После внесения изменений в контур ёмкость конденсатора и индуктивность катушки изменятся.

1. Новая ёмкость $C_2$. При заполнении конденсатора диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$, его ёмкость увеличивается в $\epsilon$ раз:

$C_2 = \epsilon \cdot C_1 = 1.6 \cdot C_1$

2. Новая индуктивность $L_2$. По условию, индуктивность катушки увеличили в 1000 раз:

$L_2 = 1000 \cdot L_1$

3. Новый период электромагнитных колебаний $T_2$ в контуре будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{L_2C_2} = 2\pi\sqrt{(1000 \cdot L_1) \cdot (1.6 \cdot C_1)} = 2\pi\sqrt{1600 \cdot L_1C_1}$

Вынесем множитель из-под корня и выразим $T_2$ через $T_1$:

$T_2 = \sqrt{1600} \cdot (2\pi\sqrt{L_1C_1}) = 40 \cdot T_1$

Подставим числовое значение $T_1$:

$T_2 = 40 \cdot 10^{-5} \text{ с} = 4 \cdot 10^{-4}$ с.

4. Период колебаний энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля $W_L$ пропорциональна квадрату силы тока ($W_L = \frac{L i^2}{2}$). Сила тока в контуре колеблется с периодом $T_2$. Так как в формулу энергии входит квадрат тока, частота колебаний энергии будет вдвое больше частоты колебаний тока, а период, соответственно, вдвое меньше.

Если ток изменяется по закону $i(t) = I_{max} \cos(\omega t)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T_2}$, то энергия магнитного поля изменяется по закону:

$W_L(t) = \frac{L_2 i^2(t)}{2} = \frac{L_2 I_{max}^2 \cos^2(\omega t)}{2} = \frac{L_2 I_{max}^2}{4} (1 + \cos(2\omega t))$

Как видно из формулы, угловая частота колебаний энергии равна $2\omega$. Следовательно, период колебаний энергии $T_{W_L}$ равен:

$T_{W_L} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\omega} = \frac{T_2}{2}$

Вычислим искомый период:

$T_{W_L} = \frac{4 \cdot 10^{-4} \text{ с}}{2} = 2 \cdot 10^{-4}$ с.

Ответ: $2 \cdot 10^{-4}$ с.