Номер 2, страница 85 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L = 2 \text{ Гн}$ и конденсатора ёмкостью $C = 4,5 \text{ мкФ}$, максимальное значение заряда на обкладках конденсатора $q_0 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$. Запишите законы изменения напряжения на конденсаторе и силы тока в контуре от времени.

Дано:

Найти:

Решение:

Колебания в идеальном LC-контуре являются гармоническими. Поскольку в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе максимален и равен $q_0$, то закон изменения заряда со временем можно записать в виде:

$q(t) = q_0 \cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний.

Найдем циклическую частоту по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим значения из условия:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{2 \text{ Гн} \cdot 4,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 10^{-6} \text{ с}^2}} = \frac{1}{3 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{1000}{3}$ рад/с.

Закон изменения напряжения на конденсаторе

Напряжение на обкладках конденсатора $U(t)$ прямо пропорционально заряду $q(t)$:

$U(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{q_0}{C} \cos(\omega t)$

Амплитудное значение напряжения $U_0$ равно:

$U_0 = \frac{q_0}{C} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{4,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{2}{4,5} \text{ В} = \frac{20}{45} \text{ В} = \frac{4}{9}$ В.

Подставив значения $U_0$ и $\omega$, получаем закон изменения напряжения:

$U(t) = \frac{4}{9} \cos(\frac{1000}{3} t)$

Ответ: закон изменения напряжения на конденсаторе: $U(t) = \frac{4}{9} \cos(\frac{1000}{3} t)$ (В).

Закон изменения силы тока в контуре

Сила тока $I(t)$ в контуре — это первая производная заряда по времени:

$I(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_0 \cos(\omega t)) = -q_0 \omega \sin(\omega t)$

Амплитудное значение силы тока $I_0$ равно:

$I_0 = q_0 \omega = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot \frac{1000}{3} \text{ рад/с} = \frac{2000}{3} \cdot 10^{-6} \text{ А} = \frac{2}{3} \cdot 10^{-3}$ А.

Подставив значения $I_0$ и $\omega$, получаем закон изменения силы тока:

$I(t) = -\frac{2}{3} \cdot 10^{-3} \sin(\frac{1000}{3} t)$

(Это уравнение показывает, что колебания тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$, так как $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$)

Ответ: закон изменения силы тока в контуре: $I(t) = -\frac{2}{3} \cdot 10^{-3} \sin(\frac{1000}{3} t)$ (А).