Номер 3, страница 82 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Как связаны амплитуды колебаний заряда и тока при разрядке конденсатора через катушку?

Дано:

Электромагнитные колебания в LC-контуре (конденсатор ёмкостью $C$ и катушка индуктивностью $L$).
Зависимость заряда от времени: $q(t) = q_m \cos(\omega t)$.
$q_m$ — амплитуда колебаний заряда.
$I_m$ — амплитуда колебаний силы тока.

Найти:

Соотношение, связывающее $I_m$ и $q_m$.

Решение:

При разрядке конденсатора через катушку в идеальном колебательном контуре (без активного сопротивления) возникают незатухающие гармонические электромагнитные колебания. Заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем по гармоническому закону. Если в начальный момент времени ($t=0$) конденсатор был заряжен до максимального значения, то зависимость заряда от времени описывается уравнением:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

где $q_m$ — амплитуда колебаний заряда, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний.

Сила тока $I(t)$ по определению является первой производной от заряда по времени:

$I(t) = \frac{dq}{dt}$

Для нахождения закона изменения силы тока продифференцируем выражение для $q(t)$:

$I(t) = (q_m \cos(\omega t))' = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Это уравнение также является уравнением гармонических колебаний. Амплитуда колебаний силы тока $I_m$ — это максимальное по модулю значение $I(t)$. Так как максимальное значение функции $\sin(\omega t)$ равно 1, то амплитуда силы тока равна:

$I_m = q_m \omega$

Это и есть искомая связь между амплитудами колебаний силы тока и заряда. Они прямо пропорциональны друг другу, а коэффициент пропорциональности — это циклическая частота колебаний $\omega$.

Циклическая частота собственных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставив это выражение в полученную связь, можно выразить зависимость через параметры контура:

$I_m = \frac{q_m}{\sqrt{LC}}$

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m$ связана с амплитудой колебаний заряда $q_m$ через циклическую частоту $\omega$ соотношением $I_m = q_m \omega$. Через параметры контура (индуктивность $L$ и ёмкость $C$) эта связь выражается как $I_m = \frac{q_m}{\sqrt{LC}}$.