Номер 2, страница 85 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Конденсатор контура с периодом колебаний $10^{-5}$ с заполнили диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 1,6$. Индуктивность катушки увеличили в 1000 раз, вставив железный сердечник. Чему стал равен период колебаний энергии магнитного поля в контуре?

Дано:

Найти:

Решение:

Период электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Для начального состояния контура с индуктивностью $L_1$ и ёмкостью $C_1$ период равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{L_1C_1} = 10^{-5}$ с.

После внесения изменений в контур ёмкость конденсатора и индуктивность катушки изменятся.

1. Новая ёмкость $C_2$. При заполнении конденсатора диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$, его ёмкость увеличивается в $\epsilon$ раз:

$C_2 = \epsilon \cdot C_1 = 1.6 \cdot C_1$

2. Новая индуктивность $L_2$. По условию, индуктивность катушки увеличили в 1000 раз:

$L_2 = 1000 \cdot L_1$

3. Новый период электромагнитных колебаний $T_2$ в контуре будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{L_2C_2} = 2\pi\sqrt{(1000 \cdot L_1) \cdot (1.6 \cdot C_1)} = 2\pi\sqrt{1600 \cdot L_1C_1}$

Вынесем множитель из-под корня и выразим $T_2$ через $T_1$:

$T_2 = \sqrt{1600} \cdot (2\pi\sqrt{L_1C_1}) = 40 \cdot T_1$

Подставим числовое значение $T_1$:

$T_2 = 40 \cdot 10^{-5} \text{ с} = 4 \cdot 10^{-4}$ с.

4. Период колебаний энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля $W_L$ пропорциональна квадрату силы тока ($W_L = \frac{L i^2}{2}$). Сила тока в контуре колеблется с периодом $T_2$. Так как в формулу энергии входит квадрат тока, частота колебаний энергии будет вдвое больше частоты колебаний тока, а период, соответственно, вдвое меньше.

Если ток изменяется по закону $i(t) = I_{max} \cos(\omega t)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T_2}$, то энергия магнитного поля изменяется по закону:

$W_L(t) = \frac{L_2 i^2(t)}{2} = \frac{L_2 I_{max}^2 \cos^2(\omega t)}{2} = \frac{L_2 I_{max}^2}{4} (1 + \cos(2\omega t))$

Как видно из формулы, угловая частота колебаний энергии равна $2\omega$. Следовательно, период колебаний энергии $T_{W_L}$ равен:

$T_{W_L} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\omega} = \frac{T_2}{2}$

Вычислим искомый период:

$T_{W_L} = \frac{4 \cdot 10^{-4} \text{ с}}{2} = 2 \cdot 10^{-4}$ с.

Ответ: $2 \cdot 10^{-4}$ с.