Номер 3, страница 85 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. В колебательном контуре происходят колебания с амплитудой напряжения $U_1$. В момент времени, когда заряд на пластинах конденсатора максимален, их сдвигают, уменьшая расстояние между ними в $N = 2$ раза, при этом заряд на пластинах не успевает измениться. Определите амплитуду напряжения. Во сколько раз изменится частота колебаний после сдвига пластин?

Дано:

Амплитуда напряжения до сдвига: $U_1$
Коэффициент уменьшения расстояния между пластинами: $N = 2$

Найти:

Амплитуду напряжения после сдвига $U_2$
Отношение частот $\frac{\nu_2}{\nu_1}$

Решение:

Определите амплитуду напряжения.

В момент, когда заряд на пластинах конденсатора максимален, вся энергия колебательного контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора, а ток в катушке равен нулю. Максимальный заряд на конденсаторе до сдвига пластин связан с амплитудой напряжения $U_1$ и начальной емкостью $C_1$ соотношением: $q_{max,1} = C_1 U_1$

Емкость плоского конденсатора определяется формулой $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$, где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, а $d$ — расстояние между ними.

Изначально емкость была $C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$. После того как расстояние между пластинами уменьшили в $N$ раз, новое расстояние стало $d_2 = \frac{d_1}{N}$. Новая емкость $C_2$ будет равна: $C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1/N} = N \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1} = N C_1$

Согласно условию задачи, сдвиг пластин происходит настолько быстро, что заряд на них не успевает измениться. Поскольку в этот момент заряд был максимальным, он и будет определять амплитуду новых колебаний. Таким образом, новый максимальный заряд $q_{max,2}$ равен начальному максимальному заряду $q_{max,1}$: $q_{max,2} = q_{max,1}$

Новая амплитуда напряжения $U_2$ связана с новым максимальным зарядом $q_{max,2}$ и новой емкостью $C_2$: $q_{max,2} = C_2 U_2$

Приравнивая выражения для максимальных зарядов, получаем: $C_1 U_1 = C_2 U_2$

Подставим в это равенство выражение $C_2 = N C_1$: $C_1 U_1 = (N C_1) U_2$

Сократив $C_1$, выразим новую амплитуду напряжения $U_2$: $U_2 = \frac{U_1}{N}$

Подставив значение $N=2$, находим: $U_2 = \frac{U_1}{2}$

Ответ: Амплитуда напряжения уменьшится в 2 раза и станет равной $\frac{U_1}{2}$.

Во сколько раз изменится частота колебаний после сдвига пластин?

Частота свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Начальная частота колебаний была: $\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

После изменения емкости конденсатора новая частота стала: $\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдем отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_1}}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \sqrt{\frac{LC_1}{LC_2}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Ранее мы установили, что $C_2 = N C_1$. Подставим это соотношение в формулу для отношения частот: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{N C_1}} = \sqrt{\frac{1}{N}} = \frac{1}{\sqrt{N}}$

Подставив значение $N=2$: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Ответ: Частота колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.