Номер 4, страница 85 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Определите отношение энергий магнитного и электрического полей $W_м/W_э$ в колебательном контуре в момент времени $T/6$, где $T$ — период колебаний контура. В начальный момент времени сила тока $I = 0$.

Дано:

$t = T/6$
$I(t=0) = 0$

Найти:

$\frac{W_м}{W_э} - ?$

Решение

В идеальном колебательном контуре происходят гармонические колебания заряда $q$ на обкладках конденсатора и силы тока $I$ в катушке индуктивности. Начальное условие, что сила тока в момент времени $t=0$ равна нулю ($I(0)=0$), означает, что в этот момент энергия магнитного поля катушки равна нулю, а вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Это соответствует максимальному значению заряда на конденсаторе.

Таким образом, зависимость заряда от времени описывается законом косинуса, а зависимость силы тока (которая является производной заряда по времени) — законом синуса:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

$I(t) = \frac{dq}{dt} = -q_{max} \omega \sin(\omega t) = -I_{max} \sin(\omega t)$

где $q_{max}$ — амплитуда заряда, $I_{max}$ — амплитуда силы тока, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Энергия электрического поля конденсатора ($W_э$) и энергия магнитного поля катушки ($W_м$) в момент времени $t$ определяются по формулам:

$W_э(t) = \frac{q(t)^2}{2C} = \frac{q_{max}^2}{2C} \cos^2(\omega t)$

$W_м(t) = \frac{L I(t)^2}{2} = \frac{L (-I_{max} \sin(\omega t))^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2} \sin^2(\omega t)$

Согласно закону сохранения энергии в колебательном контуре, максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля. Эта величина является полной энергией контура $W_{полн}$:

$W_{полн} = W_{э, max} = \frac{q_{max}^2}{2C} = W_{м, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Используя это, можно выразить мгновенные значения энергий через полную энергию:

$W_э(t) = W_{полн} \cos^2(\omega t)$

$W_м(t) = W_{полн} \sin^2(\omega t)$

Теперь найдем отношение этих энергий:

$\frac{W_м(t)}{W_э(t)} = \frac{W_{полн} \sin^2(\omega t)}{W_{полн} \cos^2(\omega t)} = \tan^2(\omega t)$

Нам нужно найти это отношение в момент времени $t = T/6$. Вычислим фазу колебаний $\omega t$ для этого момента. Учитывая, что циклическая частота $\omega$ связана с периодом $T$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Подставим значение фазы в формулу для отношения энергий:

$\frac{W_м}{W_э} = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Поскольку $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем:

$\frac{W_м}{W_э} = (\sqrt{3})^2 = 3$

Ответ: 3.