Номер 2, страница 82 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Как изменится период свободных электрических колебаний в контуре, если ёмкость конденсатора в нём вдвое увеличить или же вдвое уменьшить?

Дано:

$L = \text{const}$ (индуктивность катушки)
$C$ (начальная ёмкость конденсатора)
Случай 1: $C_1 = 2C$ (ёмкость увеличена вдвое)
Случай 2: $C_2 = \frac{C}{2}$ (ёмкость уменьшена вдвое)

Найти:

Как изменится период колебаний $T$ в обоих случаях?

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется по формуле Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$ где $T$ — период колебаний, $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Из этой формулы видно, что при неизменной индуктивности $L$, период колебаний $T$ прямо пропорционален квадратному корню из ёмкости конденсатора $C$, то есть $T \sim \sqrt{C}$.

Рассмотрим оба случая изменения ёмкости.

При увеличении ёмкости конденсатора вдвое

Пусть начальный период равен $T = 2\pi\sqrt{LC}$.
Новая ёмкость составляет $C_1 = 2C$.
Тогда новый период колебаний $T_1$ будет равен: $T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1} = 2\pi\sqrt{L(2C)} = \sqrt{2} \cdot (2\pi\sqrt{LC}) = T\sqrt{2}$.
Следовательно, при увеличении ёмкости в 2 раза, период колебаний увеличится в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).
Ответ: Период увеличится в $\sqrt{2}$ раз.

При уменьшении ёмкости конденсатора вдвое

Пусть начальный период равен $T = 2\pi\sqrt{LC}$.
Новая ёмкость составляет $C_2 = \frac{C}{2}$.
Тогда новый период колебаний $T_2$ будет равен: $T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2} = 2\pi\sqrt{L\left(\frac{C}{2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\pi\sqrt{LC}) = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
Следовательно, при уменьшении ёмкости в 2 раза, период колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).
Ответ: Период уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.