Номер 2, страница 78 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудите с одноклассниками, можно ли провести аналогию между электрическими колебаниями в колебательном контуре и колебаниями математического маятника.

Да, между электрическими колебаниями в идеальном колебательном контуре и механическими колебаниями математического маятника можно провести прямую и глубокую аналогию. Оба процесса представляют собой примеры свободных гармонических колебаний, в ходе которых происходит периодическое превращение энергии из одного вида в другой.

Рассмотрим процесс колебаний в обеих системах. В математическом маятнике происходит непрерывное превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В крайних точках траектории, где высота подъема максимальна, маятник на мгновение останавливается, и вся его энергия является потенциальной ($E_п = mgh_{max}$). При прохождении положения равновесия высота минимальна, а скорость максимальна, поэтому вся энергия переходит в кинетическую ($E_к = \frac{mv^2_{max}}{2}$).

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора $C$, происходит аналогичный процесс. Когда конденсатор полностью заряжен, сила тока в цепи равна нулю. Вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле конденсатора ($W_э = \frac{q^2_{max}}{2C}$). По мере разрядки конденсатора в катушке возникает ток, и энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля катушки. Когда конденсатор полностью разряжен, ток в цепи достигает максимума, и вся энергия сосредоточена в магнитном поле ($W_м = \frac{LI^2_{max}}{2}$).

Эта аналогия позволяет сопоставить физические величины, описывающие обе системы:

• Заряд конденсатора ($q$) является аналогом смещения маятника ($x$) от положения равновесия.

• Сила тока в контуре ($I = \frac{dq}{dt}$), то есть скорость изменения заряда, аналогична скорости маятника ($v = \frac{dx}{dt}$).

• Индуктивность катушки ($L$) играет роль массы маятника ($m$). Индуктивность характеризует инертность электрического тока (препятствует его изменению), так же как масса характеризует инертность тела.

• Величина, обратная ёмкости ($1/C$), аналогична коэффициенту жёсткости ($k$) в пружинном маятнике (или величине $mg/l$ для математического маятника). Она характеризует "возвращающую силу" электрической системы.

• Энергия магнитного поля ($W_м = \frac{LI^2}{2}$) аналогична кинетической энергии маятника ($E_к = \frac{mv^2}{2}$).

• Энергия электрического поля ($W_э = \frac{q^2}{2C}$) аналогична потенциальной энергии маятника ($E_п = \frac{kx^2}{2}$).

Математическое описание этих процессов также идентично. Уравнение, описывающее колебания в идеальном LC-контуре, имеет вид:
$L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$ или $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$.
Уравнение колебаний математического маятника для малых углов отклонения $\theta$ выглядит так:
$ml\frac{d^2\theta}{dt^2} + mg\theta = 0$ или $\theta'' + \frac{g}{l}\theta = 0$.
Оба являются дифференциальными уравнениями второго порядка, описывающими гармонические колебания. Периоды этих колебаний определяются схожими по структуре формулами:
Период колебаний в контуре (формула Томсона): $T = 2\pi\sqrt{LC}$.
Период колебаний маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Аналогия распространяется и на затухающие колебания. Электрическое сопротивление ($R$) в контуре приводит к потере энергии на нагрев проводника и затуханию колебаний, что полностью аналогично действию силы трения в механической системе, которая приводит к потере энергии и остановке маятника.

Ответ: Да, можно провести полную аналогию между электрическими колебаниями в колебательном контуре и колебаниями математического маятника. Эта аналогия основана на идентичности процессов преобразования энергии и математического описания этих процессов. Заряд на конденсаторе аналогичен смещению маятника, сила тока — его скорости, индуктивность — массе, а величина, обратная ёмкости — жёсткости системы. Энергия электрического поля соответствует потенциальной энергии, а энергия магнитного поля — кинетической.