Номер 2, страница 76 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Чему равна энергия контура в произвольный момент времени?

2. Решение

Энергия колебательного контура в любой момент времени $t$ складывается из энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе ($W_C$), и энергии магнитного поля, запасенной в катушке индуктивности ($W_L$).

Полная энергия контура $W$ равна их сумме:

$W = W_C + W_L$

Энергия электрического поля конденсатора емкостью $C$, заряд на обкладках которого равен $q$, определяется формулой:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

Энергия магнитного поля катушки индуктивностью $L$, по которой протекает ток силой $I$, определяется формулой:

$W_L = \frac{LI^2}{2}$

Таким образом, полная энергия контура в произвольный момент времени $t$ выражается как:

$W(t) = \frac{q(t)^2}{2C} + \frac{L(I(t))^2}{2}$

Дальнейшее рассмотрение зависит от того, какой контур имеется в виду: идеальный или реальный.

1. Идеальный колебательный контур (без активного сопротивления, $R=0$)

В идеальном контуре потерь энергии нет. Происходит непрерывное превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, но их полная сумма остается неизменной. Для идеального контура выполняется закон сохранения энергии.

Докажем это. В идеальном контуре происходят гармонические колебания. Заряд на конденсаторе и сила тока в катушке изменяются по законам:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

$I(t) = q'(t) = -\omega q_m \sin(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний, $\phi_0$ — начальная фаза.

Подставим эти выражения в формулу для полной энергии:

$W(t) = \frac{(q_m \cos(\omega t + \phi_0))^2}{2C} + \frac{L(-\omega q_m \sin(\omega t + \phi_0))^2}{2} = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac{L\omega^2 q_m^2}{2}\sin^2(\omega t + \phi_0)$

Циклическая частота собственных колебаний в контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, откуда $\omega^2 = \frac{1}{LC}$.

Подставим значение $\omega^2$ в уравнение энергии:

$W(t) = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac{L(\frac{1}{LC}) q_m^2}{2}\sin^2(\omega t + \phi_0) = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac{q_m^2}{2C}\sin^2(\omega t + \phi_0)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$W(t) = \frac{q_m^2}{2C}(\cos^2(\omega t + \phi_0) + \sin^2(\omega t + \phi_0))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, получаем:

$W = \frac{q_m^2}{2C} = \text{const}$

Эта энергия равна максимальной энергии конденсатора (когда ток равен нулю) или, что то же самое, максимальной энергии катушки (когда заряд на конденсаторе равен нулю):

$W = W_{C,max} = \frac{q_m^2}{2C} = W_{L,max} = \frac{LI_m^2}{2}$

Таким образом, в идеальном колебательном контуре полная энергия постоянна во времени.

2. Реальный колебательный контур (с активным сопротивлением, $R>0$)

В любом реальном контуре провода катушки и соединительные провода обладают некоторым активным сопротивлением $R$. При протекании тока по этому сопротивлению часть энергии контура необратимо превращается во внутреннюю энергию (теплоту Джоуля-Ленца). В результате колебания в контуре являются затухающими, а полная электромагнитная энергия контура со временем уменьшается.

Скорость уменьшения энергии зависит от величины сопротивления $R$. Энергия убывает по экспоненциальному закону. Полная энергия в этом случае не является постоянной величиной, а функцией времени $W(t)$, которая монотонно убывает.

Ответ: Энергия контура в произвольный момент времени равна сумме энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля в катушке индуктивности: $W = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$. В идеальном колебательном контуре (без сопротивления) эта полная энергия сохраняется, то есть она постоянна во времени и равна начальной энергии, сообщенной контуру. В реальном контуре (с сопротивлением) полная энергия не сохраняется, а убывает со временем из-за потерь на нагревание проводников.