Номер 1, страница 16 - гдз по физике 11 класс тетрадь для лабораторных работ Парфентьева

Лабораторная работа № 3. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника - номер 1, страница 16.

Условие.

Лабораторная работа № 3

Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Цель работы: определить ускорение свободного падения на основе формулы для определения периода колебаний математического маятника.

1. Теоретическая часть

Свободными колебаниями называются колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена самой себе. Математический маятник представляет собой тело, подвешенное на длинной нити. Его можно считать материальной точкой.

Тело колеблется под действием действующих на него двух сил — силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 9). Обратим внимание на то, что сила тяжести в данной системе является внутренней силой, хотя при решении задач по теме «Закон сохранения импульса» эта сила, как правило, считалась внешней.

Период колебаний математического маятника определяется по формуле

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, (1)$$

где $l$ — длина нити, $g$ — ускорение свободного падения.

При расчётах периода колебаний маятника мы пренебрегаем растяжимостью нити, т. е. считаем, что длина нити при колебаниях не изменяется. Также мы не учитываем массу нити и силу сопротивления воздуха, действующую на колеблющееся тело.

Зная период колебаний из формулы (1), мы можем определить ускорение свободного падения

$$g = \frac{4\pi^2l}{T^2}. (2)$$

Решение.

Решение

Изображение представляет собой теоретическую часть лабораторной работы №3, целью которой является определение ускорения свободного падения $g$ с помощью математического маятника. Ниже представлен развернутый разбор этой теории.

1. Теоретическая часть

Свободные колебания и математический маятник

Свободными колебаниями называют колебания, которые происходят в системе под действием внутренних сил после того, как система была выведена из положения равновесия. Математический маятник — это идеализированная физическая модель, которая представляет собой материальную точку (тело, чьи размеры пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса), подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$.

На колеблющееся тело действуют две силы (как показано на Рис. 9):

- Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

- Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Вывод формулы периода колебаний

Для вывода формулы периода колебаний рассмотрим силы, действующие на маятник, отклоненный на угол $\alpha$ от вертикали. Силу тяжести $m\vec{g}$ можно разложить на две компоненты:

- Радиальная составляющая $F_r = mg \cos\alpha$, направленная вдоль нити. Она уравновешивается силой натяжения нити $\vec{T}$.

- Тангенциальная (касательная) составляющая $F_{\tau} = mg \sin\alpha$. Эта сила не скомпенсирована и является возвращающей силой, так как она всегда направлена к положению равновесия.

Согласно второму закону Ньютона, возвращающая сила сообщает телу тангенциальное ускорение $a_{\tau}$:

$ma_{\tau} = -mg \sin\alpha$

Знак «минус» означает, что направление силы противоположно направлению отклонения. Для малых углов колебаний (обычно до 10°–15°) справедливо приближение $\sin\alpha \approx \alpha$ (где $\alpha$ выражено в радианах). Уравнение движения принимает вид:

$ma_{\tau} \approx -mg\alpha$

Поскольку движение происходит по дуге окружности радиусом $l$, тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением $\varepsilon$ как $a_{\tau} = l\varepsilon = l\frac{d^2\alpha}{dt^2}$. Подставим это в уравнение:

$ml\frac{d^2\alpha}{dt^2} = -mg\alpha$

Сократив массу $m$, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

$\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{l}\alpha = 0$

Это уравнение имеет стандартный вид уравнения гармонических колебаний $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — циклическая (круговая) частота. Сравнивая уравнения, находим квадрат циклической частоты для маятника:

$\omega^2 = \frac{g}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания, он связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив наше выражение для $\omega$, получаем формулу для периода колебаний математического маятника, указанную в тексте под номером (1):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Определение ускорения свободного падения

Целью лабораторной работы является нахождение ускорения свободного падения $g$. Для этого необходимо выразить $g$ из полученной формулы периода. Возведем обе части формулы (1) в квадрат:

$T^2 = \left(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$

Из этого соотношения выражаем $g$:

$gT^2 = 4\pi^2l \implies g = \frac{4\pi^2l}{T^2}$

Это формула (2) из текста. Таким образом, для экспериментального определения ускорения свободного падения необходимо измерить два параметра: длину нити маятника $l$ и период его колебаний $T$. Для повышения точности измерения периода обычно измеряют общее время $t$ для $N$ полных колебаний (например, $N = 30-50$), а затем вычисляют период как $T = \frac{t}{N}$.

Ответ:

На изображении приведена теоретическая основа для определения ускорения свободного падения $g$ с помощью математического маятника. Основываясь на втором законе Ньютона для малых колебаний маятника, выводится формула периода $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Путем алгебраических преобразований из этой формулы получается расчетная формула для ускорения свободного падения: $g = \frac{4\pi^2l}{T^2}$. Экспериментальная задача заключается в измерении длины маятника $l$ и его периода колебаний $T$ для последующего расчета $g$.