Номер 1, страница 20 - гдз по физике 11 класс тетрадь для лабораторных работ Парфентьева

Лабораторная работа № 4. Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины - номер 1, страница 20.

Условие.

Лабораторная работа № 4

Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины

Цель работы: изучить колебания пружинного маятника, состоящего из нескольких пружин, и определить влияние жёсткости пружины на период колебаний пружинного маятника.

1. Теоретическая часть

Период колебаний, как известно, определяется параметрами системы.

Пружинный маятник состоит из пружины жёсткостью $\text{k}$ и подвешенного к ней груза массой $m$.

При определении периода колебаний считается, что вся жёсткость сосредоточена в пружине, а масса обладает только груз (система с сосредоточенными параметрами). Период колебаний, определённый из опыта, совпадает с теоретически рассчитанным значением в том случае, если масса пружины много меньше массы груза.

На груз, подвешенный к пружине, действуют силы упругости и тяжести (рис. 10): $mg + \vec{F}_{\text{упр}} = 0$

При определении периода колебаний считается, что вся жёсткость сосредоточена в пружине, а масса обладает только груз (система с сосредоточенными параметрами). Период колебаний, определённый из опыта, совпадает с теоретически рассчитанным значением в том случае, если масса пружины много меньше массы груза.

На груз, подвешенный к пружине, действуют силы упругости и тяжести (рис. 10): $mg + \vec{F}_{\text{упр}} = 0$, сила упругости согласно закону Гука равна

$F_{\text{упр}} = -kx$. (1)

В проекции на ось OX

$mg - kx_0 = 0$. (2)

При дополнительном растяжении пружины на $\text{x}$ согласно второму закону Ньютона запишем

$ma_x = mg - k(x + x_0)$.

Учитывая формулу (2), получим $ma_x = -kx$, или

$a_x = -\frac{k}{m}x$. (3)

Уравнение гармонических колебаний имеет вид

$a_x = -\omega^2x$. (4)

Из (3) и (4) находим выражение для определения собственной частоты и периода колебаний пружинного маятника:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Жёсткость пружины $\text{k}$ зависит от её геометрических размеров (длины, толщины) и от материала, из которого она сделана.

1. Пусть две разные пружины прикреплены к грузу параллельно; очевидно, что при одной и той же массе подвешенного груза

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$, (5) Рис. 11

где $k_1$ и $k_2$ — жёсткости пружин (рис. 11).

Сумма $(k_1 + k_2)$ в этом случае есть эффективная жёсткость, т. е. жёсткость такой воображаемой пружины, которая при той же массе подвешенного груза обеспечивает колебания с тем же периодом, что и две пружины:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{эфф}}}}$, где $k_{\text{эфф}} = k_1 + k_2$.

Если пружины с разными жёсткостями соединены последовательно, то вследствие предположения об их невесомости сила упругости, действующая в любом сечении пружины, постоянна, а деформация пружин различна: $k_1x_1 = k_2x_2$, смещение тела от положения равновесия равно

$x = x_1 + x_2 = x_1(1 + \frac{k_1}{k_2})$.

На груз действует сила упругости $F_1 = k_1x_1$, а ускорение тела определяется полным смещением $\text{x}$, тогда согласно второму закону Ньютона получим

$ma_x = -\frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}x$.

Для периода колебаний получим выражение

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1k_2}}$. (6)

В этом случае эффективная жёсткость равна

$k_{\text{эфф}} = \frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}$.

2. Зависимость периода колебаний от параметров пружины.

Если пружины сделаны из одного материала и проволоки одной толщины, но разной длины, то периоды колебаний маятников при одной и той же массе будут разными.

Закон Гука можно записать следующим образом:

$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$. (7)

где $\varepsilon$ — относительная деформация, равная отношению удлинения (сжатия) к первоначальной длине тела $x/l$; $\sigma$ — напряжение, равное силе упругости, действующей на единицу площади поверхности, равное $F_{\text{упр}}/S$; $\text{E}$ — модуль Юнга, равный напряжению, возникающему в твёрдом теле при относительной деформации, равной единице. Подставив в (7) эти выражения, получим

$\frac{x}{l} = \frac{F_{\text{упр}}}{ES}$.

Для силы упругости имеем

$F_{\text{упр}} = \frac{ES}{l}x$. (8)

Сравнив (1) и (8) для жёсткости, получим

$k = \frac{ES}{l}$. (9)

Следовательно, жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине, а период колебаний прямо пропорционален квадратному корню от $l$ (рис. 12).

Решение.

Период колебаний пружинного маятника

Решение

Рассмотрим груз массой $m$, подвешенный на пружине жёсткостью $k$. В положении равновесия на груз действуют две силы, которые уравновешивают друг друга: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вниз, и сила упругости $\vec{F}_{упр0}$, направленная вверх. В проекции на вертикальную ось OX, направленную вниз, уравнение равновесия имеет вид:

$mg - kx_0 = 0$

где $x_0$ – растяжение пружины в положении равновесия.

При смещении груза из положения равновесия на малое расстояние $x$ вниз, результирующая сила, действующая на груз, согласно второму закону Ньютона, будет равна:

$ma_x = mg - k(x_0 + x)$

Учитывая, что $mg = kx_0$, получаем уравнение движения груза:

$ma_x = kx_0 - kx_0 - kx = -kx$

Отсюда ускорение груза:

$a_x = -\frac{k}{m}x$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, которое имеет общий вид $a_x = -\omega^2 x$, где $\omega$ – циклическая (круговая) частота колебаний. Сравнивая два выражения для ускорения, находим:

$\omega^2 = \frac{k}{m} \implies \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив выражение для $\omega$, получим формулу для периода колебаний пружинного маятника.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Параллельное соединение пружин

Решение

При параллельном соединении двух пружин с жёсткостями $k_1$ и $k_2$ (рис. 11 в документе) и смещении груза на расстояние $x$, обе пружины деформируются на одинаковую величину $x$. Суммарная сила упругости, действующая на груз, равна сумме сил упругости, создаваемых каждой пружиной:

$F_{общ} = F_1 + F_2 = -k_1x - k_2x = -(k_1 + k_2)x$

Такая система эквивалентна одной пружине с эффективной жёсткостью $k_{эфф}$, для которой $F_{общ} = -k_{эфф}x$. Отсюда следует, что эффективная жёсткость при параллельном соединении равна:

$k_{эфф} = k_1 + k_2$

Период колебаний для такой системы определяется подстановкой $k_{эфф}$ в общую формулу периода.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$.

Последовательное соединение пружин

Решение

При последовательном соединении двух пружин с жёсткостями $k_1$ и $k_2$ (рис. 12 в документе) сила, растягивающая обе пружины, одинакова: $F = F_1 = F_2$. Общее удлинение системы $x$ равно сумме удлинений каждой пружины: $x = x_1 + x_2$.

Из закона Гука для каждой пружины имеем $x_1 = F/k_1$ и $x_2 = F/k_2$. Тогда общее удлинение:

$x = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Для эквивалентной пружины с эффективной жёсткостью $k_{эфф}$ выполняется соотношение $F = k_{эфф}x$. Отсюда $x = F/k_{эфф}$. Сравнивая выражения для $x$, получаем:

$\frac{1}{k_{эфф}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$

Следовательно, эффективная жёсткость при последовательном соединении равна:

$k_{эфф} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Период колебаний для данной системы равен:

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эфф}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$.

Зависимость периода колебаний от параметров пружины

Решение

Жёсткость пружины $k$ зависит от её геометрических размеров и материала. Связь между напряжением $\sigma$ и относительной деформацией $\varepsilon$ для упругой деформации даётся законом Гука в форме $\sigma = E\varepsilon$, где $E$ — модуль Юнга материала.

Напряжение $\sigma$ — это сила упругости $F_{упр}$, отнесённая к площади поперечного сечения проволоки $S$: $\sigma = \frac{F_{упр}}{S}$.

Относительная деформация $\varepsilon$ — это отношение удлинения пружины $x$ к её первоначальной длине $l$: $\varepsilon = \frac{x}{l}$.

Подставляя эти выражения в закон Гука, получаем:

$\frac{F_{упр}}{S} = E \frac{x}{l}$

Отсюда выражаем силу упругости:

$F_{упр} = \frac{ES}{l}x$

Сравнивая это выражение с $F_{упр} = kx$, находим выражение для жёсткости пружины:

$k = \frac{ES}{l}$

Видно, что жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине. Подставим это выражение в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{ES/l}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{ES}}$

Таким образом, период колебаний пружинного маятника прямо пропорционален квадратному корню из длины пружины ($T \propto \sqrt{l}$).

Ответ: Жёсткость пружины определяется её параметрами как $k = \frac{ES}{l}$. Период колебаний зависит от длины пружины как $T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{ES}}$.