Номер 5, страница 19 - гдз по физике 11 класс тетрадь для лабораторных работ Парфентьева

Лабораторная работа № 3. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника - номер 5, страница 19.

Условие.

5. Погрешности измерений

1. Относительную ошибку измерения периода колебаний первого груза найдём по формуле:

$$\varepsilon = \frac{\Delta g}{g_{cp}} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta\pi}{\pi} + 2\frac{\Delta T}{T_{cp}},$$

где $\Delta l = 0,5$ см, $\Delta\pi = 0,01$, $\Delta T = 0,1$ с.

Определим абсолютную погрешность измерения:

$$\Delta g = \varepsilon g_{cp}.$$

Интервал возможных значений ускорения в первом опыте

$$g_{cp} + \Delta g \ge g \ge g_{cp} - \Delta g$$.

2. Найдите в Интернете ускорение свободного падения в месте, где находится ваша школа.

Например, широта, на которой находится Москва, равна $55^\circ 45'$. Ускорение свободного падения на этой широте равно $g = 9,815$ м/с$^2$.

Абсолютная ошибка равна $\Delta = g_{изм1} - g$.

Относительная ошибка определяется по формуле

$$\varepsilon = \frac{|g_{изм1} - g|}{g} 100\%.$$

Решение.

Для полного решения задачи необходимы экспериментальные данные, полученные в ходе первого опыта: среднее значение измеренной длины нити $l$, среднее значение периода колебаний $T_{cp}$ и вычисленное по ним среднее значение ускорения свободного падения $g_{cp}$. Поскольку эти данные отсутствуют, для демонстрации расчетов воспользуемся гипотетическими, но реалистичными для школьного эксперимента, значениями.

Предположим, что в ходе эксперимента были получены следующие средние значения:
Длина маятника $l = 100$ см;
Период колебаний $T_{cp} = 2,0$ с;
Значение $\pi$ использовалось с округлением: $\pi \approx 3,14$;
Среднее значение ускорения свободного падения, рассчитанное по формуле $g_{cp} = 4\pi^2\frac{l}{T_{cp}^2}$, равно $g_{cp} \approx 9,86$ м/с².

Дано:

$\Delta l = 0,5$ см
$\Delta \pi = 0,01$
$\Delta T = 0,1$ с
$l = 100$ см (предположение)
$T_{cp} = 2,0$ с (предположение)
$\pi \approx 3,14$ (предположение)
$g_{cp} = 9,86$ м/с² (рассчитано из предположений)
$g = 9,815$ м/с² (табличное значение для Москвы)

Система СИ:

$\Delta l = 0,005$ м
$l = 1,00$ м

Найти:

1. Относительную ошибку измерения $\epsilon$, абсолютную погрешность $\Delta g$ и интервал возможных значений $g$ для первого опыта.
2. Абсолютную ошибку $\Delta$ и относительную ошибку $\epsilon$ измеренного значения по сравнению с табличным.

Решение:

1. Определим относительную ошибку измерения ускорения свободного падения по формуле, приведенной в условии:

$\epsilon = \frac{\Delta g}{g_{cp}} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta \pi}{\pi} + 2\frac{\Delta T}{T_{cp}}$

Подставляем наши данные:

$\epsilon = \frac{0,005}{1,00} + \frac{0,01}{3,14} + 2 \cdot \frac{0,1}{2,0} = 0,005 + 0,0032 + 0,1 = 0,1082$

Основной вклад в погрешность вносит измерение времени ($0,1$). Согласно правилам обработки погрешностей, результат следует округлить до одного знака после запятой. Таким образом, $\epsilon \approx 0,1$.

Теперь определим абсолютную погрешность измерения $\Delta g$:

$\Delta g = \epsilon \cdot g_{cp} = 0,1 \cdot 9,86 \text{ м/с}^2 \approx 0,986 \text{ м/с}^2$

Округляем абсолютную погрешность до одной значащей цифры, так как относительная погрешность имеет одну значащую цифру: $\Delta g \approx 1$ м/с².

Запишем результат измерения $g$ в виде $g_{изм1} = g_{cp} \pm \Delta g$. Значение $g_{cp}$ нужно округлить до того же десятичного разряда, что и погрешность (в данном случае до целых):

$g_{cp} \approx 10$ м/с².

Следовательно, $g_{изм1} = (10 \pm 1)$ м/с².

Интервал возможных значений ускорения в первом опыте:

$g_{cp} - \Delta g \le g \le g_{cp} + \Delta g$

$10 - 1 \le g \le 10 + 1$

$9 \text{ м/с}^2 \le g \le 11 \text{ м/с}^2$

Ответ: Относительная ошибка $\epsilon \approx 0,1$ (или 10%), абсолютная погрешность $\Delta g \approx 1$ м/с², интервал возможных значений ускорения свободного падения: $[9; 11]$ м/с².

2. Для выполнения этого пункта воспользуемся данными для Москвы, приведенными в качестве примера. Табличное значение ускорения свободного падения $g = 9,815$ м/с². Измеренное в ходе эксперимента значение (до округления для записи итогового результата) $g_{изм1} = g_{cp} = 9,86$ м/с².

Абсолютная ошибка (расхождение с табличным значением) равна:

$\Delta = g_{изм1} - g = 9,86 - 9,815 = 0,045$ м/с².

Относительная ошибка определяется по формуле:

$\epsilon = \frac{|g_{изм1} - g|}{g} \cdot 100\%$

Подставляем значения:

$\epsilon = \frac{|9,86 - 9,815|}{9,815} \cdot 100\% = \frac{0,045}{9,815} \cdot 100\% \approx 0,00458 \cdot 100\% \approx 0,46\%$

Ответ: Абсолютная ошибка по сравнению с табличным значением $\Delta = 0,045$ м/с², относительная ошибка $\epsilon \approx 0,46\%$.