Номер 2.74, страница 48 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в полупроводниках - номер 2.74, страница 48.

Условие.

2.74* Определите, во сколько раз изменится мощность, потребляемая цепью, если поменять полярность подключения источника тока (рис. 2.20). Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь. Диоды считать идеальными.

Рис. 2.20

Решение.

Дано:

Схема электрической цепи, показанная на рис. 2.20.

Сопротивление каждого из пяти резисторов равно $\text{R}$.

ЭДС источника тока равна $\mathcal{E}$.

Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь ($r=0$).

Диоды считать идеальными (в прямом направлении сопротивление равно нулю, в обратном — бесконечности).

Найти:

Во сколько раз изменится мощность, потребляемая цепью, если поменять полярность подключения источника тока. То есть, найти отношение $P_2 / P_1$.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить эквивалентное сопротивление цепи для каждого из двух случаев полярности источника. Мощность, потребляемая цепью, вычисляется по формуле $P = \frac{\mathcal{E}^2}{R_{экв}}$.

Проанализируем схему. Наиболее вероятная её интерпретация, использующая все компоненты, заключается в том, что крайний левый резистор $\text{R}$ соединён параллельно с более сложным блоком, содержащим остальные элементы. Источник тока $\mathcal{E}$ подключён к этой параллельной цепи. Обозначим узлы на верхней шине как $N_T$, а на нижней — $N_B$. Также введём узлы $N_1$ (средний левый) и $N_2$ (средний правый).

1. Первоначальная полярность.

Положительный полюс источника подключён к нижней шине $N_B$, отрицательный — к верхней $N_T$. Примем потенциал верхней шины $V(N_T)=0$, тогда потенциал нижней шины $V(N_B)=\mathcal{E}$.

Определим состояние диодов, проанализировав потенциалы в узлах. Сделаем предположение, что оба диода закрыты, и проверим его.

Если оба диода закрыты (не проводят ток), то ветвь $N_T-R-N_1-R-N_B$ состоит из двух последовательных резисторов. Потенциал в узле $N_1$ будет $V(N_1) = \frac{V(N_T) + V(N_B)}{2} = \frac{0 + \mathcal{E}}{2} = \frac{\mathcal{E}}{2}$.

Узел $N_2$ соединён с $N_B$ через резистор, а также с двумя диодами. Если диоды закрыты, ток через резистор $\text{R}$ (между $N_B$ и $N_2$) течь не может. Следовательно, падение напряжения на нём равно нулю, и потенциал $V(N_2)$ равен потенциалу $V(N_B)$, то есть $V(N_2) = \mathcal{E}$.

Проверим состояние диодов при этих потенциалах:

• Диод $D_1$ (между $N_1$ и $N_2$): анод у $N_1$, катод у $N_2$. Напряжение $V_{D1} = V(N_1) - V(N_2) = \frac{\mathcal{E}}{2} - \mathcal{E} = -\frac{\mathcal{E}}{2} < 0$. Диод закрыт.
• Диод $D_2$ (между $N_T$ и $N_2$): анод у $N_T$, катод у $N_2$. Напряжение $V_{D2} = V(N_T) - V(N_2) = 0 - \mathcal{E} = -\mathcal{E} < 0$. Диод закрыт.

Предположение оказалось верным.

При закрытых диодах ток в центральном блоке течёт только по ветви $N_T-R-N_1-R-N_B$. Сопротивление этой ветви $R_{блок,1} = R + R = 2R$. Резистор, подключенный к узлу $N_2$, не участвует в проведении тока.

Общее эквивалентное сопротивление цепи $R_{экв,1}$ — это сопротивление параллельно соединённых левого резистора $\text{R}$ и центрального блока:

$R_{экв,1} = \frac{R \cdot R_{блок,1}}{R + R_{блок,1}} = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2R}{3}$.

Мощность, потребляемая цепью в первом случае:

$P_1 = \frac{\mathcal{E}^2}{R_{экв,1}} = \frac{\mathcal{E}^2}{2R/3} = \frac{3\mathcal{E}^2}{2R}$.

2. Обратная полярность.

Положительный полюс источника подключён к верхней шине $N_T$, отрицательный — к нижней $N_B$. Теперь $V(N_T)=\mathcal{E}$ и $V(N_B)=0$.

Определим состояние диодов. Предположим, что диод $D_1$ закрыт, а $D_2$ открыт.

Если $D_2$ открыт (представляет собой короткое замыкание), то $V(N_2) = V(N_T) = \mathcal{E}$. Потенциал в узле $N_1$ по-прежнему определяется делителем напряжения и равен $V(N_1) = \frac{V(N_T) + V(N_B)}{2} = \frac{\mathcal{E} + 0}{2} = \frac{\mathcal{E}}{2}$.

Проверим состояние диодов:

• Диод $D_1$: анод при $V(N_1)=\mathcal{E}/2$, катод при $V(N_2)=\mathcal{E}$. Напряжение $V_{D1} = \frac{\mathcal{E}}{2} - \mathcal{E} = -\frac{\mathcal{E}}{2} < 0$. Диод закрыт.
• Диод $D_2$: анод при $V(N_T)=\mathcal{E}$, катод при $V(N_2)=\mathcal{E}$. Напряжение равно нулю. Чтобы проверить, открыт ли диод, найдём направление тока через него. Ток через резистор между $N_B$ и $N_2$ равен $I_{N_B \to N_2} = (V(N_B) - V(N_2))/R = (0-\mathcal{E})/R = -\mathcal{E}/R$. По правилу Кирхгофа для узла $N_2$, ток через диод $D_2$ должен компенсировать этот ток (т.к. $D_1$ закрыт), т.е. $I_{N_T \to N_2} = \mathcal{E}/R > 0$. Ток течёт от анода к катоду, значит, диод $D_2$ открыт.

Предположение оказалось верным.

Эквивалентная схема центрального блока: узел $N_2$ соединён с $N_T$. Блок состоит из двух параллельных ветвей, подключённых между $N_T$ и $N_B$: одна ветвь — это резистор $\text{R}$ (между $N_B$ и $N_2=N_T$), а вторая — последовательно соединённые резисторы $R+R=2R$ (ветвь $N_T-R-N_1-R-N_B$).

$R_{блок,2} = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2R}{3}$.

Общее эквивалентное сопротивление цепи $R_{экв,2}$:

$R_{экв,2} = \frac{R \cdot R_{блок,2}}{R + R_{блок,2}} = \frac{R \cdot (2R/3)}{R + 2R/3} = \frac{2R^2/3}{5R/3} = \frac{2R}{5}$.

Мощность, потребляемая цепью во втором случае:

$P_2 = \frac{\mathcal{E}^2}{R_{экв,2}} = \frac{\mathcal{E}^2}{2R/5} = \frac{5\mathcal{E}^2}{2R}$.

Отношение мощностей.

Найдём, во сколько раз изменится мощность, разделив $P_2$ на $P_1$:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{5\mathcal{E}^2 / (2R)}{3\mathcal{E}^2 / (2R)} = \frac{5}{3}$.

Мощность увеличится в $5/3$ раза.

Ответ: Мощность, потребляемая цепью, увеличится в $\frac{5}{3}$ раза (приблизительно в 1.67 раза).