Номер 2.73, страница 48 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в полупроводниках - номер 2.73, страница 48.

Условие.

2.73*. Определите силу тока в цепи (рис. 2.19). Сопротивление резистора 10 Ом, ЭДС источника тока 4 В, внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. При прямом включении диода сила тока через диод зависит от напряжения на нём как $I = \beta U^2$, где $\beta = 0,02 \text{ А/В}^2$, а при обратном включении силой тока через диод можно пренебречь.

Рис. 2.19

Решение.

Дано:

Сопротивление резистора: $R = 10 \text{ Ом}$

ЭДС источника тока: $\mathcal{E} = 4 \text{ В}$

Коэффициент в вольт-амперной характеристике диода: $\beta = 0,02 \text{ А/В}^2$

Внутреннее сопротивление источника: $r = 0$ (можно пренебречь)

Зависимость тока от напряжения для диода: $I = \beta U^2$ (при прямом включении)

Найти:

Силу тока в цепи $\text{I}$

Решение:

На схеме изображена цепь, состоящая из последовательно соединенных источника ЭДС $\mathcal{E}$, резистора $\text{R}$ и диода. Анод диода (треугольник) подключен к положительному полюсу источника, а катод (черта) — через резистор к отрицательному. Следовательно, диод включен в прямом направлении, и через него протекает ток. Ток при обратном включении, согласно условию, равен нулю.

Поскольку все элементы соединены последовательно, сила тока $\text{I}$ в цепи одинакова для всех элементов.

Применим второе правило Кирхгофа (закон напряжений для замкнутого контура). Так как внутреннее сопротивление источника равно нулю, его ЭДС равна сумме падений напряжений на внешних элементах цепи — резисторе ($U_R$) и диоде ($U_D$):

$\mathcal{E} = U_R + U_D$

Падение напряжения на резисторе определяется законом Ома:

$U_R = I \cdot R$

Зависимость силы тока через диод от напряжения на нем дана в условии:

$I = \beta U_D^2$

Из этого соотношения выразим напряжение на диоде $U_D$. Поскольку диод открыт, напряжение на нем положительно, поэтому берем положительное значение корня:

$U_D = \sqrt{\frac{I}{\beta}}$

Теперь подставим выражения для $U_R$ и $U_D$ в уравнение второго правила Кирхгофа:

$\mathcal{E} = I \cdot R + \sqrt{\frac{I}{\beta}}$

Подставим в это уравнение известные числовые значения:

$4 = I \cdot 10 + \sqrt{\frac{I}{0,02}}$

$4 = 10I + \sqrt{50I}$

Для решения этого иррационального уравнения относительно $\text{I}$ введем новую переменную. Пусть $x = \sqrt{I}$, тогда $I = x^2$. Так как сила тока $\text{I}$ не может быть отрицательной, то $x \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$4 = 10x^2 + \sqrt{50}x$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 + \sqrt{50}x - 4 = 0$

Найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{50})^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-4) = 50 + 160 = 210$

Решим уравнение относительно $\text{x}$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{50} \pm \sqrt{210}}{2 \cdot 10} = \frac{-\sqrt{50} \pm \sqrt{210}}{20}$

Поскольку $\text{x}$ должен быть неотрицательным ($x = \sqrt{I} \ge 0$), выбираем корень со знаком «плюс»:

$x = \frac{-\sqrt{50} + \sqrt{210}}{20}$

Вычислим приближенное значение $\text{x}$:

$x \approx \frac{-7,071 + 14,491}{20} = \frac{7,42}{20} = 0,371$

Теперь найдем искомую силу тока $\text{I}$, выполнив обратную замену $I = x^2$:

$I = (0,371)^2 \approx 0,1376 \text{ А}$

Округлим результат до двух значащих цифр:

$I \approx 0,14 \text{ А}$

Ответ: сила тока в цепи составляет приблизительно $0,14 \text{ А}$.