Номер 6.74, страница 140 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Электромагнитные волны - номер 6.74, страница 140.

Условие.

6.74*. На каком расстоянии $\text{a}$ от антенны передатчика нужно расположить металлический стержень $\text{AB}$ (рис. 6.14), чтобы лампа приёмного вибратора горела наиболее ярко?

Рис. 6.14

Решение.

Решение

Чтобы лампа приёмного вибратора горела наиболее ярко, необходимо, чтобы напряженность электромагнитного поля в точке расположения приёмника была максимальной. Эта напряженность создается в результате интерференции двух волн: волны, приходящей непосредственно от передатчика, и волны, переизлучённой металлическим стержнем АВ. Стержень АВ является пассивным вибратором (рефлектором или директором), в котором электромагнитная волна от передатчика возбуждает переменный ток, заставляя стержень самого излучать вторичные электромагнитные волны.

Максимальная яркость лампы будет достигнута при условии конструктивной интерференции этих двух волн у приёмника. Однако, для эффективной работы системы, сам стержень АВ должен переизлучать как можно больше энергии в сторону приёмника. Это произойдет, если стержень будет находиться в сильном электромагнитном поле, то есть если между передатчиком и стержнем установится режим, близкий к режиму стоячей волны с максимумом напряженности поля у стержня.

Рассмотрим взаимодействие передатчика и стержня. Волна, излучаемая передатчиком, достигает стержня АВ и отражается от него. Отраженная волна возвращается к передатчику. Чтобы усилить поле между передатчиком и стержнем, необходимо, чтобы волна, отраженная от стержня, приходила обратно к передатчику в фазе с волной, излучаемой передатчиком в тот же момент.

Пусть расстояние от передатчика до стержня равно $\text{a}$. Волна проходит путь туда и обратно, то есть $\text{2a}$. Набег фазы за счет прохождения этого пути составляет $k \cdot 2a$, где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ - волновое число, а $\lambda$ - длина волны.

При отражении электромагнитной волны от проводящей поверхности (металлического стержня) фаза волны меняется на $\pi$ (180°).

Таким образом, полный сдвиг фазы для волны, прошедшей от передатчика до стержня и обратно, равен:
$\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2a + \pi = \frac{4\pi a}{\lambda} + \pi$

Для того чтобы отраженная волна усиливала следующую волну, излучаемую передатчиком, их фазы должны совпадать, то есть разность фаз должна быть кратна $2\pi$:
$\Delta\phi = 2\pi n$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$

Приравниваем выражения для сдвига фазы:
$\frac{4\pi a}{\lambda} + \pi = 2\pi n$
$\frac{4\pi a}{\lambda} = 2\pi n - \pi = \pi(2n - 1)$
$\frac{4a}{\lambda} = 2n - 1$
$a = \frac{(2n - 1)\lambda}{4}$

Наиболее яркое горение лампы будет при наименьшем возможном расстоянии $\text{a}$ (при $n=1$), так как при увеличении расстояния интенсивность поля ослабевает.
При $n=1$:
$a = \frac{(2 \cdot 1 - 1)\lambda}{4} = \frac{\lambda}{4}$

При таком расстоянии стержень АВ работает как директор, эффективно концентрируя излучение передатчика в направлении приёмника.
Ответ: Стержень нужно расположить на расстоянии $a = \frac{\lambda}{4}$ (а также на расстояниях $a = \frac{3\lambda}{4}$, $a = \frac{5\lambda}{4}$ и т.д.) от антенны передатчика, где $\lambda$ — длина излучаемой волны. Наиболее эффективным будет наименьшее расстояние $a = \frac{\lambda}{4}$.