Номер 11.45, страница 216 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Ультрафиолетовое и рентгеновское излучение - номер 11.45, страница 216.

Условие.

11.45. Для рентгеновской трубки, схематично изображённой на рисунке 11.8, определите:

а) скорость, с которой достигают электроны анода рентгеновской трубки;

б) кинетическую энергию электронов, достигающих анода;

в) наименьшую длину волны возникающего рентгеновского излучения.

Рис. 11.8

Решение.

Дано:

$U = 100 000 \text{ В} = 10^5 \text{ В}$

Используем справочные данные:

Заряд электрона $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса покоя электрона $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Скорость света в вакууме $c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Постоянная Планка $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Найти:

a) $\text{v}$ - скорость электронов у анода

б) $E_k$ - кинетическая энергия электронов у анода

в) $\lambda_{min}$ - наименьшая длина волны рентгеновского излучения

Решение:

б) кинетическую энергию электронов, достигающих анода

Электроны, испущенные катодом (начальную скорость считаем равной нулю), ускоряются в электрическом поле, созданном разностью потенциалов $\text{U}$. Работа, совершаемая электрическим полем над электроном, полностью переходит в его кинетическую энергию.Работа поля $\text{A}$ по перемещению заряда $\text{e}$ в поле с разностью потенциалов $\text{U}$ равна:

$A = eU$

По теореме о кинетической энергии, эта работа равна приобретенной электроном кинетической энергии $E_k$:

$E_k = eU$

Подставим числовые значения:

$E_k = 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 10^5 \text{ В} = 1.6 \times 10^{-14} \text{ Дж}$

Ответ: $1.6 \times 10^{-14} \text{ Дж}$.

а) скорость, с которой достигают электроны анода рентгеновской трубки

Для нахождения скорости электрона воспользуемся его кинетической энергией. Сначала проверим, можно ли использовать классическую формулу $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$. Если бы это было так, то скорость была бы:

$v_{клас} = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-14} \text{ Дж}}{9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}}} \approx 1.87 \times 10^8 \text{ м/с}$

Эта скорость составляет примерно $0.62c$ ($62\%$ от скорости света), что является значительной величиной. Поэтому для точного расчета необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:

$E_k = (\gamma - 1)m_e c^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - фактор Лоренца.

Выразим из этой формулы фактор Лоренца:

$\gamma = 1 + \frac{E_k}{m_e c^2}$

Рассчитаем энергию покоя электрона $E_0 = m_e c^2$:

$E_0 = 9.1 \times 10^{-31} \text{ кг} \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2 = 8.19 \times 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь найдем $\gamma$:

$\gamma = 1 + \frac{1.6 \times 10^{-14} \text{ Дж}}{8.19 \times 10^{-14} \text{ Дж}} \approx 1 + 0.195 \approx 1.195$

Зная фактор Лоренца, найдем скорость $\text{v}$:

$\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \implies \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \implies v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

$v = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \times \sqrt{1 - \frac{1}{1.195^2}} \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с} \times \sqrt{1 - 0.700} = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \times \sqrt{0.300} \approx 1.64 \times 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $1.64 \times 10^8 \text{ м/с}$.

в) наименьшую длину волны возникающего рентгеновского излучения

Наименьшая длина волны (или наибольшая частота) рентгеновского излучения соответствует случаю, когда электрон при торможении у анода отдает всю свою кинетическую энергию одному фотону. Это граница тормозного спектра.

Энергия фотона $E_{\text{ф}}$ связана с его длиной волны $\lambda$ соотношением:

$E_{\text{ф}} = \frac{hc}{\lambda}$

По закону сохранения энергии, максимальная энергия фотона равна кинетической энергии электрона:

$E_{k} = E_{\text{ф, max}} = \frac{hc}{\lambda_{min}}$

Отсюда находим наименьшую длину волны $\lambda_{min}$:

$\lambda_{min} = \frac{hc}{E_k} = \frac{hc}{eU}$

Подставим значения:

$\lambda_{min} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{1.6 \times 10^{-14} \text{ Дж}} \approx 12.4 \times 10^{-12} \text{ м}$

Это значение можно выразить в пикометрах: $12.4 \text{ пм}$.

Ответ: $1.24 \times 10^{-11} \text{ м}$ (или $12.4 \text{ пм}$).